《线性代数》4 小时速成课（不挂科）线性方程组字幕总结

来源

原字幕笔记：线性方程组
本节主题：齐次线性方程组、基础解系、非齐次线性方程组、带参数方程组。

一句话总结

本讲讲线性方程组的 3 类常考题：齐次方程组看系数矩阵秩与未知数个数的关系，并用基础解系写通解；非齐次方程组看系数矩阵秩和增广矩阵秩，并用「齐次通解 + 非齐次特解」写通解；带参数方程组则通过行变换和秩条件反推参数。

章节脉络

1. 齐次线性方程组与基础解系：判断零解 / 非零解，求基础解系和通解。
2. 非齐次线性方程组：判断无解、唯一解、无穷解，并求非齐次通解。
3. 带参数方程组：把「存在两个不同解」翻译成「有无穷解」，再用秩条件求参数。

1. 齐次线性方程组

1.1 齐次方程组的定义

齐次线性方程组指右端项为零向量的方程组：

$$AX=0$$

其中 $A$ 是系数矩阵，$X$ 是未知向量。

1.2 零解与非零解的判断

设 $A$ 是 $m\times n$ 系数矩阵，$n$ 是未知数个数。

齐次线性方程组 $AX=0$ 有以下结论：

$$r(A)=n\Rightarrow AX=0\text{ 只有零解}$$ $$r(A)<n\Rightarrow AX=0\text{ 有非零解，并且有无穷多解}$$

记忆方式

系数矩阵的秩表示「有效方程个数」。若有效方程数少于未知数个数，就会产生自由变量，因此有非零解。

1.3 自由变量的含义

当有效方程个数少于未知数个数时，多出来的变量称为自由变量。

例如只有一个有效方程：

$$x_1+x_2=0$$

可以令 $x_2=k$，则：

$$x_1=-k$$

于是解向量为：

$$X=\left(\begin{array}{c}-k\\ k\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$$

由于 $k$ 可任意取值，所以有无穷多解；当 $k\ne 0$ 时就是非零解。

2. 基础解系与齐次通解

2.1 基础解系的概念

当齐次方程组 $AX=0$ 有非零解时，它的解集是一个向量组。该解集的极大无关组称为基础解系。

基础解系中的解向量个数为：

$$n-r(A)$$

其中：

• $n$：未知数个数；
• $r(A)$：系数矩阵的秩；
• $n-r(A)$：自由变量个数，也就是基础解系中向量的个数。

2.2 齐次通解

若基础解系为：

$${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{n-r(A)}$$

则齐次方程组的通解为：

$$X=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_{n-r(A)}{\xi }_{n-r(A)}$$

其中 $k_1,k_2,\dots$ 为任意常数。

口诀

齐次通解 = 基础解系的线性组合。

2.3 用行最简形求基础解系

课程强调：求基础解系时，通常把系数矩阵 $A$ 化为行最简形。

行最简形是特殊的行阶梯形：

• 阶梯下面全为 0；
• 拐弯处对应单位向量；
• 可以直接读出自由变量和基础解系。

2.4 观察法求基础解系

假设行最简形对应方程为：

$$x_1+2x_3-x_4=0$$ $$x_2+3x_3+4x_4=0$$

共有 4 个未知数，秩为 2，因此有 2 个自由变量。通常取下标较大的变量为自由变量：

$$x_3=k_1,x_4=k_2$$

移项得：

$$x_1=-2k_1+k_2$$ $$x_2=-3k_1-4k_2$$

所以：

$$X=k_1\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 1\\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

因此基础解系为：

$${\xi }_1=\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\xi }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

观察规律

自由变量对应的列取成单位向量，例如两个自由变量时取 $(1,0)$、$(0,1)$；主变量部分取对应系数的相反数。

3. 非齐次线性方程组

3.1 非齐次方程组的定义

非齐次线性方程组指右端项不全为 0：

$$AX=b$$

其中 $b\ne 0$。

把系数矩阵和右端项合在一起得到增广矩阵：

$$(A\mid b)$$

3.2 解的三种情况

设 $n$ 为未知数个数。

情况 1：无穷多解

$$r(A)=r(A\mid b)<n$$

此时方程组相容，并且有自由变量，所以有无穷多解。

情况 2：唯一解

$$r(A)=r(A\mid b)=n$$

此时有效方程数等于未知数个数，所以有唯一解。

情况 3：无解

$$r(A)\ne r(A\mid b)$$

此时会出现矛盾方程，例如：

$$0=1$$

因此方程组无解。

非齐次判解口诀

先比 $r(A)$ 和 $r(A\mid b)$；相等才有解，不相等无解。相等后再和未知数个数 $n$ 比：等于 $n$ 唯一解，小于 $n$ 无穷解。

4. 非齐次方程组的通解

4.1 通解结构

非齐次方程组 $AX=b$ 的通解为：

$$X=X_h+\eta$$

其中：

• $X_h$ 是对应齐次方程组 $AX=0$ 的通解；
• $\eta$ 是非齐次方程组 $AX=b$ 的一个特解。

也就是：

$$\text{非齐通解}=\text{齐次通解}+\text{非齐次特解}$$

若齐次基础解系为 ${\xi }_1,{\xi }_2$，则：

$$X=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\eta$$

4.2 求非齐次通解的步骤

1. 写出增广矩阵 $(A\mid b)$；
2. 只做行初等变换，化为行最简形；
3. 判断 $r(A)$ 与 $r(A\mid b)$；
4. 若有无穷解，先求对应齐次方程 $AX=0$ 的基础解系；
5. 再求非齐次方程组的一个特解 $\eta$；
6. 最后写成「齐次通解 + 特解」。

4.3 基础解系与特解的区别

课程特别强调：求基础解系和求特解时，自由变量的位置相同，但取值不同。

求基础解系

• 不看增广矩阵最后一列；
• 自由变量取单位向量；
• 其他主变量取相反数。

例如两个自由变量时，取：

$$(1,0),(0,1)$$

求非齐次特解

• 自由变量通常取 0；
• 主变量直接照抄最简形最后一列；
• 不取相反数，因为最后一列本来就在等号右边。

例如若最简形给出：

$$x_1+x_3+2x_4=1$$ $$x_2+3x_3+4x_4=2$$

取 $x_3=x_4=0$，得到特解：

$$\eta =\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$

高频易错点

基础解系要「移项取相反数」；非齐次特解中，最后一列是等号右边，通常直接照抄，不取相反数。

5. 带参数方程组

5.1 「两个不同解」的含义

非齐次线性方程组只有三种可能：

1. 无解；
2. 唯一解；
3. 无穷多解。

因此题目若说「存在两个不同的解」「存在三个不同的解」等，本质含义是：

$$\text{方程组有无穷多解}$$

所以应使用条件：

$$r(A)=r(A\mid b)<n$$

5.2 带参数题的基本思路

1. 写出增广矩阵 $(A\mid b)$；
2. 对增广矩阵做行初等变换；
3. 注意解方程组时只能做行变换，不能做列变换；
4. 根据题目要求，把秩条件翻译为方程；
5. 解出参数；
6. 把参数代回，再继续求通解。

重要限制

解线性方程组时只能做行变换。列变换会改变未知变量之间的对应关系，不能随便使用。

5.3 课程例题结论

课程中的带参数非齐次方程组要求「存在两个不同的解」，所以必须有无穷多解：

$$r(A)=r(A\mid b)<3$$

通过对增广矩阵行变换并讨论参数，得到：

$$\lambda =-1,a=-2$$

求通解时：

1. 将 $\lambda =-1$、$a=-2$ 代回；
2. 把增广矩阵化为行最简形；
3. 判断 $r(A)=r(A\mid b)=2<3$；
4. 因为未知数有 3 个，所以有 1 个自由变量；
5. 自由变量取非拐弯处对应变量，例如 $x_3$；
6. 求出对应齐次方程组基础解系；
7. 求出一个非齐次特解；
8. 写成：

$$X=k\xi +\eta$$

其中 $k$ 为任意常数。

6. 做题流程整理

6.1 齐次线性方程组

1. 写出系数矩阵 $A$；
2. 求 $r(A)$；
3. 与未知数个数 $n$ 比较；
4. 若 $r(A)=n$，只有零解；
5. 若 $r(A)<n$，有非零解；
6. 化为行最简形；
7. 找自由变量；
8. 写基础解系和通解。

6.2 非齐次线性方程组

1. 写出增广矩阵 $(A\mid b)$；
2. 做行初等变换；
3. 判断 $r(A)$ 与 $r(A\mid b)$；
4. 不相等则无解；
5. 相等且等于 $n$，唯一解；
6. 相等且小于 $n$，无穷解；
7. 无穷解时，写成「齐次通解 + 特解」。

6.3 带参数方程组

1. 先把题目语言转成秩条件；
2. 「存在两个不同解」等价于无穷解；
3. 对增广矩阵做行变换；
4. 让关键行或关键元素满足秩条件；
5. 排除会导致无解或秩不符合的特殊参数；
6. 代回参数后求最终通解。

7. 易错点汇总

• 齐次方程组 $AX=0$ 一定至少有零解；非齐次方程组可能无解。
• $r(A)=n$ 时，齐次方程组只有零解；$r(A)<n$ 时才有非零解。
• 基础解系向量个数是 $n-r(A)$，不是 $r(A)$。
• 行最简形中，求基础解系时自由变量取单位向量，主变量取相反数。
• 非齐次特解通常把自由变量取 0，主变量照抄右端项，不取相反数。
• 非齐次通解不是单独的特解，而是「齐次通解 + 一个特解」。
• 判断非齐次方程组时，必须比较 $r(A)$ 和 $r(A\mid b)$。
• 解方程组只能做行变换，不能做列变换。
• 「存在两个不同解」不是恰好两个解，而是说明方程组有无穷多解。

8. 重点公式速查

齐次方程组

$$AX=0$$ $$r(A)=n\Rightarrow \text{只有零解}$$ $$r(A)<n\Rightarrow \text{有非零解 / 无穷多解}$$

基础解系个数

$$\text{基础解系个数}=n-r(A)$$

齐次通解

$$X=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_s{\xi }_s$$

其中：

$$s=n-r(A)$$

非齐次判解

$$r(A)\ne r(A\mid b)\Rightarrow \text{无解}$$ $$r(A)=r(A\mid b)=n\Rightarrow \text{唯一解}$$ $$r(A)=r(A\mid b)<n\Rightarrow \text{无穷多解}$$

非齐次通解

$$X=X_h+\eta$$

也就是：

$$X=k_1{\xi }_1+\cdots +k_s{\xi }_s+\eta$$

带参数方程组「多个不同解」

$$\text{存在至少两个不同解}⟺r(A)=r(A\mid b)<n$$