简介
应广大同学们的要求，老师又新上传了《高等数学（上）》、《高等数学（下）》、《概率论与数理统计》的速成课，快去看看吧。另外，如果可以的话，请同学们多多分享！ 配套电子讲义、章节练习题：在置顶评论区有获取方法
章节
00:00齐次线性方程组、基础解系的求解28:27非齐次方程组的求解45:35带参数方程组的求解
字幕
齐次线性方程组、基础解系的求解 00:00
00:00 好同学们大家好
00:02 我们来看第四章线性方程组
00:05 同样呢我们讲三种题型呢
00:09 第一种题型是其次方程组的求解
00:12 所谓其次是指等号的右边啊
00:15 这个向量是零向量好
00:17 同样我们通过一道例题来讲解
00:20 这种类型的题该如何来求解啊
00:23 嗯这是一个五元方程组
00:28 但是只有四个方程
00:30 它只有四个方程
00:32 五个变量x5 嘛
00:34 你看第一个要求基础解析
00:37 然后呢第二个要求该方程组的通解
00:42 为了求解这道题呀
00:43 有这样一些知识点
00:45 同学们需要准备好第一个一个其次方程组
00:50 它有非零解和有零解的充要条件
00:54 同学们这个要知道啊
00:57 一个m行n列的方程组是其次的啊
01:02 如果系数矩阵的秩啊
01:05 它是等于n n表示什么
01:09 n表示的是系数矩阵的列数
01:11 也就是未知数的个数
01:13 要注意啊
01:15 系数矩阵的列数等于未知数的个数
01:19 如果系数矩阵的秩恰好等于n
01:22 也就是未知数的个数的话
01:24 那么这个齐次方程组啊只有零解
01:28 零解的意思
01:29 只有零解的意思就是有唯一的零解
01:33 如果系数矩阵的秩比未知数
01:38 也就是系数中的系数矩阵的列要小
01:41 那就说明这个棋子方程组有非零解
01:45 有非零解
01:45 就是有无穷可解的意思
01:47 这个我可以解释一下
01:49 我举个例子啊
01:50 比方说有这样一个齐次方程组
01:53 x一加x2 等于零
01:56 二倍x一加二倍x2 等于零
01:59 各位同学
02:00 你会发现它的同解方程组
02:03 你觉得你用加减消元法你会做吗
02:06 是不是第二个方程是无效的
02:08 第一个方程的-2倍加到第二个方程
02:11 就可以把第二个方程消掉
02:13 所以它的同解方程组只有一个
02:16 各位同学看到了没有
02:17 那也就是说嗯有两个未知数结果有效方程啊
02:22 注意是有效方程只有一个
02:24 有效方程只有一个
02:26 那怎么办
02:27 那是不是一定会产生多余的变量
02:30 多余的变量叫什么
02:31 多余的变量叫自由变量
02:33 同学们嗯
02:34 自由变量产生自由变量
02:36 那这个方程我们把x2 可以看成自由变量
02:40 多余的吗
02:41 多余的可以不可以拿到等号的右边
02:43 也就是说我们可以得到x一等于什么负的x2
02:48 此时x2 因为它是自由变量
02:51 自由变量可以自由取值
02:53 那么我随便可以取x2 可以取成k
02:56 所以我们就可以得到x一等于什么等于负k啊
02:59 也就是说我们的解x一等于负k x2 等于k
03:03 也就是说我们可以得到x它有两个分量
03:07 x1 x2
03:08 x是一个向量
03:09 那么第一个分量是负k x一等于负k
03:14 第二个分量x2 等于k可以把k提出来
03:17 他剩下的是-11
03:20 各位同学请看好
03:21 这个时候
03:22 因为k是任意常数
03:24 自由变量
03:25 k可以任意的取值
03:27 任意的参数
03:29 那所以这个这样一个向量是不是有无穷个向量
03:34 这个时候就有什么解哎
03:36 有无穷个解
03:37 也就是有非零解嘛
03:39 非零解
03:39 因为k不一定总是取零吗
03:42 是不是可以取一
03:43 可以取二
03:44 可以取三
03:45 这个k是无穷个取值吗
03:46 好有无穷个解好
03:48 同时我们会发现一个问题
03:50 同时我们会发现一个问题
03:51 它的系数矩阵
03:53 同学们看一下它的系数矩阵
03:54 它的系数正
03:55 是不是不是1122
03:58 你做行变换求一下他的字
04:00 看看做行变换第一行的-2倍网
04:02 第二行假
04:03 你会发现这个矩阵的秩
04:06 也就是它的阶梯型的非零函数
04:09 有几行
04:09 我们会发现r a等于几
04:11 r a等于一
04:12 比它的列数列数是2x2的吗
04:16 是不是要小于它的列数
04:17 也就是小于未知数的个数
04:19 这个方程组有两个未知数
04:21 所以你会发现系数矩阵的秩啊
04:26 比未知数的个数二要小
04:28 就说明它有什么解啊
04:30 就说明它有无穷可解
04:33 无穷即可解都求出来了吗
04:34 这k可以取任意常数
04:36 是不是无穷可解
04:38 再一次说明
04:39 当系数矩阵的秩比未知数的个数少的时候
04:44 那么一定会产生多余的变量
04:47 多余的变量叫自由变量
04:48 自由变量可以自由取值
04:50 可以取成零
04:51 当然也可以取成非零
04:53 这个时候他的解就一定会有什么解
04:56 有非零解啊
04:58 各位同学好
04:59 那我再举一个例子啊
05:02 只有零解的情况
05:03 我再举个例子啊
05:04 你比方说x一加x2 呀
05:08 等于零啊
05:10 二倍x一加三倍x2 等于零
05:13 各位同学
05:14 这个时候我们用呃这个加减消元法
05:17 第一个方程的-2倍加到第二个方程
05:20 x一加x2 等于零
05:23 第一个方程的-2倍加到第二个方程
05:26 这个就消掉了
05:26 所以剩下的应该是x2 的-2倍加到三倍x2
05:30 那就剩下的是x2 等于零吗
05:33 好你会发现它的有效方程呢
05:35 它的有效方程是有两个方程的
05:38 那我们会发现x2 等于几
05:40 x2 等于零
05:41 好用
05:42 代入消元法
05:43 x2 等于零
05:44 带进去
05:45 带到第一个方程x一是不等于零
05:47 也就是说我们可以得到x有两个分量
05:49 x1 x2
05:50 各位同学可以请看好
05:51 x一是等于零
05:52 x2 是不等于零
05:55 你会发现此时的方程组是不是只有唯一的零解
05:59 你看是不是唯一的零解的情况
06:02 这个时候呀只有零几
06:05 同时我们会发现它的系数矩阵
06:07 各位同学
06:08 这个方程组的系数矩阵是不是应该是1123
06:13 请问我看一下这个方程组的秩的情况是什么
06:17 它的秩等于什么
06:17 我不要做行变化
06:20 第一行的-2倍往下加
06:22 那么零和第一的-2倍往下加变成一吗
06:26 各位同学
06:27 要看字是不是可以看阶梯型的非零函数
06:30 有几行
06:31 有两行
06:32 所以a的秩等于二
06:34 恰好又等于什么
06:36 等于未知数个数呃
06:39 所以我们进一步说明
06:41 当系数矩阵的秩等于未知数的个数的时候
06:44 它一定是只有唯一的零解是吧
06:49 通过这样的小例子来给出说明
06:52 好吧好
06:53 这是第一个
06:54 同学们需要强调一下第二个啊
06:59 基础解析的概念
07:00 那当一个齐次方程组有无穷可解的
07:04 无穷可解的情况的时候呢
07:06 他解集的极大无关组
07:08 阶级的极大无关组被称为基础解析啊
07:12 这是基础解析的概念
07:14 那么基础解系所含向
07:16 所含解向量的个数应该等于未知数的个数
07:19 减去系数矩阵的秩
07:21 好
07:22 我们来举个例子来解释一下基础解析的呃
07:25 这个解向量的个数为什么等于n减r a嗯
07:29 就这样一个小例子哈哈三个变量吧
07:32 未知数来三个举的例子稍微特殊一点
07:36 这样同学们好理解
07:37 那我们会发现它的矩阵是不是应该是1112
07:41 22333
07:44 你做行变换
07:44 求一下字化成阶梯形的
07:47 是不是-2倍往下加上-3倍往下加
07:49 结果得到阶梯形有几行
07:51 有一行a等于几
07:53 a等于一
07:55 a的秩等于一
07:56 有是吧
07:57 a的秩等于一
07:59 那同时我们会发现
08:01 那我们做这个呃通解方程组啊
08:06 就是第一第一个方程的-2倍往下加
08:09 第一个方程的-3倍往下加
08:11 最后有效方程是不是只有一个
08:13 x一加x2 加x3 等于零
08:16 后面两个方程都无效的划掉就行了
08:19 那你会发现有效方程呢只有一个
08:22 但是有三个未知数
08:23 那显然它有多余的变量
08:25 因为一个方程
08:26 一个有效方程只能控制一个未知数
08:29 那现在有一个有效方程
08:31 但是却有三个未知数
08:33 所以必然有两个两个变量是多余的
08:36 也就是自由变量
08:37 我们把x2 和x3 去为自由变量
08:41 那既然是自由变量
08:42 我们把它移到等号的右边
08:43 x一等于几
08:44 x一等于负的x2 减去x3
08:48 所以这个这个x2 和x3 是自由变量
08:51 自由变量是不是可以自由取值
08:53 我可以取任意的参参数
08:55 k1 k2 k q2
08:57 也就是说我们可以得到什么
08:58 x一是不是应该等于负的k一减去k2
09:02 其中k x2 是取k1
09:06 x3
09:07 取k2 好不好
09:08 于是我们可以得到哎
09:10 x是一个向量
09:11 它有三个分量
09:12 x1 x2 x3
09:14 各位同学他可以写成负k一到k2 啊
09:20 x2 取什么
09:21 x2 取k1
09:22 x3 取k2 吗
09:24 好此时我们对这个向量做一个小小的变化
09:27 它可以写成两个向量的
09:29 和它可以写成什么
09:30 你看一下它可以写成负k1
09:33 第一个向量只和k一有关
09:37 第二个向量只和k2 有关
09:43 这两个向量一加就是上面这个向量
09:47 同时我们把第一个向量可不可以把k一提出来
09:50 -1110
09:51 第二个向量把k2 提出来
09:53 -101
09:54 其中你会发现k1 k2 是任意的参数
10:00 可以取一
10:01 可以取二
10:01 当然也可以取零
10:03 去三区四区五都可以啊
10:05 各位同学
10:06 也就是说一个方程组它的解
10:09 它的解其实取决于什么
10:12 取决于这两个向量
10:14 -110和-101这两个向量
10:18 至于k1 k2 是不是可以取其他的数
10:21 也就是说这个这个方程组的解啊
10:23 所有的解都可以用
10:25 都可以由两个向量表示
10:27 哪两个向量表示的刚才说了
10:30 就是-110和-101来表示系数是k1
10:35 k2 是乱取的
10:37 随便取一取二
10:38 取三取四啊
10:39 这个无所谓
10:40 是不是
10:42 那么我们就把这两个特殊的向量称为什么
10:45 称为基础解析
10:46 其中cos一可以练成什么
10:48 cos一可以练成-110
10:50 cos 20成什么呢
10:52 cos 20成-101
10:55 也就是说
10:56 这个方程组的所有的解
10:58 都可以以他们这两个向量为基础
11:01 乘以一个k倍
11:03 再乘以一个k2 倍加加减减得到
11:06 所以它是基石
11:08 是基础
11:09 是基础解析
11:11 记住解析有几个向量
11:13 有几个是不是两个
11:15 而我们知道诶这个时候你会发现一个问题
11:20 好多余的变量是不是也是有两个
11:23 所以实际上基础解析的个数
11:25 其实就是多余的变量
11:27 也就是自然自由变量的个数
11:29 自由变量有几个
11:30 基础解析季先生的个数就有几个
11:34 而自由变量的个数也就是多余变量
11:36 多余变量个数不就应该等于什么
11:38 恰好等于未知数个数减去有效方程的个数
11:42 因为你这里只有一个有效方程
11:45 却有三个未知数
11:46 所以应该是三减什么啊
11:48 三个变量
11:49 一个有效方程
11:50 3-1等于两个自由变量
11:52 两个多余的变量是不是好
11:55 实际上你会发现有效方程的个数
11:58 是不是求就是系数矩阵的秩
12:02 系数矩阵的秩代表的就是有效方程的个数
12:05 进而我们说明诶未知数个数
12:08 未知数个数n减2a其实就是什么
12:12 其实就是自由变量的个数
12:14 自由变量的个数就是基础解析的个数
12:17 你听明白了吗
12:18 也就是我们说明了诶
12:20 基础解系数
12:21 含解向量的个数
12:22 就等于未知数个数n减去有效方程
12:27 ra有效方程的个数
12:29 就是ra系数矩阵的秩表示的是有效方程的个数
12:33 好这是关于基础解析的解释啊
12:37 好我们接下来看一下第三个知识点
12:41 同学们也需要准备好基础解析的求法啊
12:45 这个地方我们要说一下啊
12:46 基础解析的求法就是当我们把系数矩阵呢
12:50 而系数矩阵a化成它的行最简型
12:54 举个小例子
12:55 比方说a就换成这种行最简型
12:57 有同学说你不知这一步一直在说这个行阶梯型
13:01 那么行最简型和阶梯型有什么区别
13:04 含罪减刑是一种特殊的阶梯型
13:07 就是这个台阶
13:08 这个台阶的下面全部都是零元素啊
13:11 全部都是零元素好
13:13 同时这是一个阶梯形
13:15 同时是一个特殊的阶梯形
13:16 同时你会发现拐弯处都是单位向量1100
13:20 单位向量100
13:22 第二个拐弯处是不是010
13:24 是不是都是单位向量
13:26 是不是
13:26 所以这是一种特殊的阶梯性
13:30 叫最简析了
13:31 首先把系数证化成最简型
13:34 有这样一个最典型
13:37 我们可以观察得到诶
13:38 观察得到它的自带于几类
13:40 他的字是不是应该等于二
13:42 因为它有两个非零行
13:44 所以这个地方的未知数有几个未知数
13:47 就是列数吗
13:48 是42a等于几
13:50 2a等于2a同学们看得到吧
13:52 但系数矩阵的列数结果是未知数个数好不好
13:57 这里要注意啊
13:58 列数表示未知数
13:59 个数减去2a4 减二等于两个向量啊
14:02 那么此时我们就可以得到基础解析了
14:05 基础解析有两个cos 1 cos 2啊
14:08 -2-3
14:08 101 -401
14:10 这个是怎么来的呢
14:12 同学们从这个上面可以直接观察得到
14:15 用观察法
14:16 那我来解释一下为什么啊
14:18 解释一下这个怎么就观察出来了呢
14:21 好基础解析有了以后呢
14:23 我们就可以求出通解
14:25 通解应该等于什么
14:26 通解应该等于基础解析的线性组合哎
14:30 哎k一倍的cos一加上k2 倍的cos
14:33 其中k1 k2 为任意常数一
14:36 一个齐次方程组的通解
14:37 应该等于基础解析的组合啊
14:40 k k为任意常数
14:42 好现在我们就是要解释一下什么呢
14:44 解释一下这个基础解析
14:46 为什么是这两个向量好不好
14:48 为什么是这两个向量
14:50 同学们在这一章p p t上我们解释好吧
14:53 为什么是这两个向量啊
14:54 为什么是这两个向量
14:55 各位同学路过
14:57 它是三行四列的一个方程啊
15:02 那么我们会发现当你把a进行行变换以后
15:06 得到了这样的啊
15:07 最简型
15:07 也就是说它的同解方程组是什么呢
15:10 同解方程组你做完行变换
15:13 实际上就是对方程呃
15:14 呃加加减减以后可以得到这样的方程组
15:18 同解方程组是不是应该是哎系数是什么
15:21 看一下一倍的x1
15:22 零倍的x2
15:24 二倍的x3
15:25 -1倍的x4 吗
15:27 x一加上二倍x3 减去x4 等于零吗
15:34 好这是第一行
15:35 我们再看第二行
15:36 零倍的x1
15:38 一倍的x2
15:39 三倍的x3
15:41 四倍的x4
15:42 是不是应该是x2 加上三倍的x3
15:47 加上四倍的x4 等于零的好嘞
15:51 第三个方程是无效的啊
15:53 零倍的零倍的里面的系数全是零嘛啊
15:55 这就不用写了
15:56 也就是说原来是三个方程
15:59 四个未知数的一个方程
16:00 我们经过行变化以后
16:02 化成了它的同解方程组
16:04 同解方程组是只有两个有效方程
16:07 各位同学
16:08 他有几个未知数哎
16:10 系数矩阵的列数表示未知数的个数
16:13 它有几个未知数
16:13 从这里也可以看得到它有四个未知数是吧
16:16 有四个未知数
16:17 四个未知数
16:18 但是有有有效方程只有两个
16:20 所以我们会发现一定会产生几个自由变量
16:24 自由变量是不是有就是多余的变量嘛
16:28 自由变量有几个
16:29 是不是两个4-4-2嘛
16:32 两个有效方程的是吧
16:34 也就是4-2 a啊
16:37 哎那就是两个两个我们一般取什么
16:41 取下标大的为自由变量
16:43 x3 和x4 分别取为自由变量
16:47 是不是
16:48 那既然求自由变量x一等于几x1
16:50 我们把自由变量移到诶移到等号的右边
16:53 同学们看好啊
16:55 是不是应该等于-2倍的x3 加上x4 x2
17:01 第二个方程把三倍的移移到右边
17:04 -3倍的x3
17:06 四倍的移到右边
17:07 那-4倍的x4
17:10 同学们既然是自由变量
17:11 那么这个地方的a类x3 和x4
17:15 是不是可以自由取值
17:16 自由变量可以自由取值
17:18 所以我们令x3 等于k1
17:20 x4 取什么
17:22 k2 可以任意的取值好这样我们可以得到什么
17:26 得到x一等于几
17:28 x一是不是等于-2倍的k一加上k2 x2
17:33 是不是应该等于-3倍的k一减去四倍的k
17:38 四倍的是四倍的k g k k2 好
17:42 也就是说
17:42 我们可以得到a4 这个四个分量的取值
17:46 进而可以得到x
17:47 实际上这个解向量
17:49 四个分量所构构成的分别是x一是x1
17:53 等于-2倍的k加上k2
17:59 -3倍的k
18:03 减减去四倍的k2 啊
18:07 可以可
18:11 好这一个向量啊也比较复杂
18:14 我们可以把它分解为
18:16 只含有k1
18:17 和只含有k2 的两个简单向量的加法
18:20 它当然可以取成-2倍的k1
18:23 -3倍的k1 k10
18:28 再加上嗯k2 啊
18:31 只含有k2
18:32 第二个向量啊
18:33 四倍的k2 -4倍好
18:36 还有10k2
18:40 然后第一个向量可以把谁提出来
18:42 把k一提出来
18:43 k一提出来是不是-2-310加上k2 呃
18:51 呃k2 提出来是不是一啊
18:54 -401
18:56 其中k1 k2 为任意常数
19:00 因为x3 x4 是自由变量
19:02 自由变量可以自由飞翔吗
19:04 自由取值是不是随便取油
19:07 所以我们讲这个方程组的通解也是无穷个解
19:11 是不是实际上是由这两个向量所表达出来哎
19:15 不同之处在于k1 k2 可以取123456
19:18 随便取值
19:19 所以这两个向量被称为基础解析
19:24 嘿嘿通解由这两个向量所构成吗
19:28 加加减减多少倍
19:29 多少倍再加加减减构成吗
19:31 所以这两个向量被称为基石
19:34 嘿嘿你懂我意思吗
19:35 是这个通解的基石叫基础解析好
19:41 各位同学
19:41 你看到了吗
19:42 这cos一等于什么cos一是不是我们写成向量啊
19:45 -2-31看到没有
19:48 cos 2等于多少
19:49 cos 2等于一-401呀
19:52 各位同学
19:53 这两个向量被称为基础解析
19:55 你看你看一下
19:57 我们看一下
19:57 发现发现规律哦
19:59 好我们把上面这些过程呢我就先要差一部分啊
20:03 擦掉啊
20:04 各位同学看好啊
20:05 这个时候你会发现诶
20:07 这里的-2-3好像其实就是哎
20:12 最典型的第三列的二三取相反数啊
20:17 这个地方的一-4是不是哎
20:20 最简型的第四列的-14取相反数就可以了
20:25 是不是
20:26 而自由变量分别取得什么
20:28 自由变量是不是x3 和x4 的取值
20:31 x3 和x4 的取值分别取自什么啊
20:35 1001好
20:38 各位同学要注意啊
20:39 如何由最典型观察得到
20:41 我们由观察法怎么得到基础解析
20:44 也就是说首先要确定这个自由变量
20:49 自由变量有几个自由变量
20:51 就是n减2a就是多余的变量吗
20:54 未知数个数减去有效方程的个数
20:57 就是多余的变量
20:58 有效方程的个数就是由ra所构成的嘛
21:02 就是系数矩阵的秩等于有效方程的个数好了
21:05 那么技术解析的个数确定了以后
21:08 那么我们就可以得到自由变量啊
21:11 到底谁取谁取自由变量
21:12 谁是自由变量呢
21:13 一般我们是这样来取的
21:15 就是非拐弯处
21:17 就是最典型的非拐弯处
21:20 它的变量作为自由变量
21:23 你你作为这样一个最简型
21:25 你会发现它的非拐弯处是第几列和第几列
21:28 它的非拐弯处是不是第第三列和第四列
21:34 所以我们把x3 x4 作为自由变量
21:37 同学们是不是非拐弯处的变量作为自由变量
21:42 x3 x4 好了
21:43 各位同学
21:44 x3 x4 的位置
21:45 是不是在这里来跟我一起来看好啊
21:48 x3 x4 的位置
21:51 第二个向量x3 x的位置
21:53 用红框框给他框起来
21:55 自由变量一般怎么取值呢
21:57 它取取1001
22:00 是不是你就是在这里的1001样啊
22:04 一般都这样取
22:05 如果只有一个自由变量
22:07 你就取一
22:07 如果有两个自由变量
22:09 因为有两个向量
22:10 那分别取1001是不是好了
22:14 那么其他分量怎么取得呢
22:16 看好其他分量怎么取得呢
22:18 这这个-2-3怎么来的
22:20 其实就是第三列的这个二三取成相反数
22:24 为什么要取相反数呢
22:26 各位同学为什么要取相反数呢
22:28 二三取相反数
22:29 就是我的基础解析的这个前两个分量呢
22:32 实际上其实就是由同解方程组
22:35 各位同学看到这里好
22:36 看到这里看到这里
22:39 那同解方程组
22:40 你个二倍的x3 移到等号的右边
22:43 是不是变成-2倍的x3
22:45 x3 u可以取成一吗
22:47 x3 取乘一
22:48 那么x1 x4 取成零吗
22:50 那所以x一是不是取-2了
22:52 所以一到等号的右边一定要反号吗
22:55 同学们是不是一定要返号
22:57 还有这个呃cos 2 cos 2的一-4
23:01 实际上就是最后一列-14取相反数
23:05 为什么要取相反数
23:06 是不是实际上就是什么
23:08 实际上就是这个地方的负x4
23:11 是不是移到等号的右边
23:12 这个四倍的x是不是移到等号右边
23:15 是不是要变成负的-4倍的x
23:18 你的等号又变要变了
23:19 要要要变号的了
23:21 各位同学你听明白了吗
23:23 好我举个小例子啊
23:25 这这个题有点麻烦
23:26 所以我要讲的东西要多一点
23:28 比方说我再举个例子
23:30 比方说a x等于零
23:32 它的呃系数矩阵的a最后变成最简型啊
23:38 100010是吧
23:44 1234好不好
23:48 零零这是我的最典型了
23:51 各位同学你会发现ra等于几二
23:54 a是等于二
23:55 但是它有几个未知数
23:56 它是三行四列的
23:58 所以未知数有四个
24:00 那么未知数有四个
24:02 有效方程只有两个
24:03 所以自由变量有几个
24:05 自由变量有4-2
24:07 a是不是有有有两个了是吧
24:12 有两个自由变量有两个基础解析
24:14 就有两个基础解析
24:15 有两个我们分别写成cos一和cos 2啊
24:20 这个解释有两个向量
24:22 好注意
24:22 那自由变量取谁呢
24:24 我们开始说了
24:25 非拐弯处
24:27 非拐弯处对应的对应的变量是不是x3 和x4
24:31 诶
24:32 所以这个自由变量的位置
24:34 你给他留下来两个框框
24:36 两个框框自由变量有两个要留下来
24:39 那最后变量一般怎么取值呢
24:41 取成一零啊
24:44 第二个向量里面的自由变量取值零一是不是好
24:50 那第一个解下来
24:51 其他其他分量怎么取
24:52 其实就是什么
24:53 其实就是第三列
24:55 第三列的一三
24:56 在这里的一三取乘它的相反数-1-3
25:01 为什么要取相反数
25:03 就是因为把它拿到等号的右边
25:05 把它拿到等号的右边的时候
25:06 他应该取它的相反数吗
25:09 对不对
25:10 你是不是要一倍一倍x3
25:12 要变成-1倍x3
25:13 三倍x3
25:14 是不是要变成-3倍x3 o x3
25:17 取乘积x3 取一
25:19 所以一定要取相反数的系数
25:22 要取相反数
25:23 那同意这个地方的二四是不是取决于相反数
25:26 二四取相反数
25:27 不是-2-4
25:29 要记住解析两个就搞定了
25:31 同学们
25:32 这是一种观察法啊
25:34 特别的方便啊
25:35 特别的方便好吧
25:37 那作为本题我们来看好
25:39 同学们
25:40 首先对系数矩阵呢哎进行行变换啊
25:44 一的-1倍
25:45 一的-4倍
25:46 一的-2倍往下加嘛
25:48 是不是化成呃咱们的这种玩最简性好不好
25:53 最典型
25:56 它同时也是一种阶梯性
25:57 是一种特殊的阶梯性
25:59 它为什么特殊
26:01 就是因为他的拐弯处都是单位向量100啊
26:05 01000010
26:08 看到没有
26:08 是不是都是单位向量啊
26:10 这种阶梯性被称为最艰辛
26:15 从这一个函数解析当中
26:17 我们会发现它的自带的解压
26:20 他的字是不是等于三的秩等于三
26:23 是不是小于五了
26:24 为什么和五比较
26:25 因为有五个未知数
26:26 有五个未知数
26:27 你看得到啊
26:28 系数矩阵的列数等于未知数的个数
26:33 是不是好
26:34 既然啊r a等于3b未知数个数小
26:38 那一定有无穷可解
26:39 有无穷个解
26:40 是不是要得到基础解析的个数求解
26:42 这个数应该等于n减2a嘛
26:44 所以记住解析有哎
26:45 5-5-3等于两个两个向量
26:50 这两个向量怎么取呢
26:52 各位同学诶
26:53 cos一哎
26:55 两个向量怎么取得呢
26:59 基础体型有两个
27:01 那么自由变量是不是也有两个
27:02 因为有效方程只有三个未知数
27:05 有未知数有五个
27:06 多余出来两个变量
27:08 两个变量
27:08 注意我们刚才说非拐弯处的变量作为自由变量
27:12 那非拐弯处
27:13 你看一下非拐弯处是不是
27:15 第三列和第五列所对应的变量是x3 x5
27:18 所以把x3 的位置留下
27:20 x5 的位置留下
27:21 和x3 的位置留下和x5 的位置留下
27:24 分别取成1001不就可以了吗
27:29 对不对
27:29 好
27:30 这个时候还剩下的是哎
27:32 一-10的相反数分别是什么
27:35 哎
27:36 一-10的相反数不取成-1
27:39 一零的相反数是零吗
27:42 注意有五个分量啊
27:44 他有五个未知数
27:45 所以这个时候有五个分量要小心点好
27:50 最后一列取相反数
27:51 -2-2-1取相反数
27:53 那是不是221
27:57 那这样的话咱们的cos 1 cos 2就出来了
28:00 基础解析就出来了
28:02 同学们看明白了吗
28:03 也就是说我们的cos 1 cos 2是这样来的
28:06 是不是cos 1 cos 2有了通解
28:09 怎么求技术解析
28:10 有了吗
28:11 通解是不是有基础解析的线性组合
28:14 k一倍k2 倍就可以是吧
28:16 k1 k2 为任意常数好
28:18 这是齐次方程组的求解
28:20 是不是有点麻烦
28:21 你多听两遍啊
28:22 啊一定会搞懂的好
28:24 接下来我们看第二种题型
28:26 非齐次方程组的求解
非齐次方程组的求解 28:27
28:28 所谓非其次就是指就是指这个等号的右边啊
28:33 它它不是零啊
28:35 或者叫不全是零
28:37 是不是
28:38 那这种我们如何来求解
28:41 同样我们要解释一下
28:43 有几个知识点
28:44 同学们要准备好啊
28:45 第一作为一个非齐次方程组的解
28:50 的存在性定理是这样的啊
28:52 这个叫针管针啊
28:53 针管正因为a角系数整嘛
28:56 当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩的时候
29:00 那并且嗯相等以后比n小
29:03 n表示未知数个数啊
29:05 未知数个数
29:06 当系数矩阵的秩等于增广阵的秩
29:10 小于未知数个数的时候
29:11 那么ax等于b有无穷解
29:13 单系数矩阵的秩等于增广阵的秩啊
29:16 恰好有等于未知数的个数呢
29:18 那有唯一的解
29:20 如果系数真的秩不等于真管真的值
29:24 那么x等于b有无结
29:27 所以一个ax等于b它有三种情况
29:30 要么是什么解
29:31 要么是无穷解
29:33 要么是唯一解
29:34 要么是无解
29:37 只有三种情况啊
29:38 无从解围解和无解三种情况
29:41 我来解释一下啊
29:42 稍微解释一下
29:43 你比方说我有这样一个非齐次方程组
29:46 x一加x2 等于一二倍
29:49 x一加二倍
29:50 x2 等于二
29:51 这当然是一个二元方程组了
29:54 我们用加减消元法
29:55 加减消元法
29:56 第一个方程的-2倍往下一加嘛
29:59 第二个方程是不是消掉了啊
30:02 所以它的同解方程组是不是只有一个
30:04 x一加x2 等于什么
30:05 一最后一个方程消掉了
30:07 那这个时候你会发现一个问题
30:09 它有一个有效方程
30:12 一个有效方程
30:13 但是却有两个未知数
30:14 那怎么办
30:15 变量会产生自由变量
30:17 多余的变量会产生多余的变量叫自由变量
30:20 因为一个方程只能约束一个未知数
30:22 它不能约束两个未知数的
30:24 必然会产生多余的变量
30:25 这个多余的变量我们一般去为下标
30:28 为大的为自由变量
30:31 也就是说我们可以得到x一等于什么
30:34 一减x2
30:35 那自由变量可以自由取值啊
30:38 它可以取k呀
30:39 k可以包括0123456
30:41 随便取分数也可以啊
30:43 所以你会发现x1 x2 这样一个解向量
30:46 是不是又可以写成一减k x2 取k吗
30:50 那k你会发现这个时候k可以取任意的实数啊
30:54 所以这是无穷解啊
30:55 各位同学是不是无穷解的情况
30:58 同时我们会发现它的系数
31:01 矩阵的秩和增广矩阵秩是什么情况呢
31:03 你看一下它的针管针啊
31:05 系数正后面加一列叫b向量啊
31:08 也就是系数真是1122+一点
31:12 最后一点是e r m
31:14 各位同学
31:14 你看你会发现它的阶梯性
31:18 第一行的-2倍往下一加吗
31:20 这阶梯形是不是只有一行feeling
31:23 所以我们讲系数矩阵的秩
31:25 系数矩阵的秩等不等于增广
31:27 矩阵的秩是不是都等于一了
31:29 并且这个一比未知数是不要小
31:31 未知数有几个未知数
31:32 有两个小鱼儿
31:35 所以我们讲系数矩阵的秩等于增广阵的秩
31:38 如果比未知数要小
31:40 就这个情况比未知数要小的熟了
31:42 比未知数要小的时候
31:43 他真的是有无穷个解哦
31:46 是不是同学们又无从可击哦
31:48 我再解释一下无解的情况
31:50 这个唯一解的情况大家自己类似的可以考虑啊
31:54 有这样一个方程组x一加x2 等于一二倍
31:59 x一加二倍
32:01 x2 等于三
32:02 同学们
32:03 这个我们用加减消元法
32:05 第一个方程的多少倍
32:06 第一个方程的-2倍往下一加吗
32:09 同解方程组是x一加x2 等于一
32:12 那么左边是不是一个负边往下掉
32:15 左边是不是零啊
32:17 加零等于等于一的-2倍往下加
32:21 那是几啊一吗
32:24 那0=1是不是一个矛盾的方程
32:26 矛盾的方程
32:28 那所以我们就讲此时方程组是无解的
32:31 因为你出现了矛盾肯定是无解
32:33 你是这个情况
32:34 同时我们会发现他的真管证
32:36 a杠b a是指1122
32:40 b b就是最后这一列一三
32:44 我们看一下它的这个情况啊
32:45 做一下行变化
32:47 第一行的-2倍往下加
32:50 -2倍
32:51 往下加了是001吗
32:53 各位同学
32:54 你会发现系数矩阵的秩等于几
32:56 系数矩阵最后一列不看了
32:58 是不是等于一
33:00 那增广矩阵的增广矩阵的秩非零函数有几行
33:04 阶梯形有几行啊
33:05 是不是两行
33:06 所以它不等于什么
33:08 不等于增广矩阵秩
33:09 因为增广矩阵秩等于二
33:10 也看到没有啊
33:12 不相等他不相等
33:13 真的是什么误解吗
33:16 是不是
33:17 那就是系数证不等于正
33:19 反正一定是无解的
33:21 好这个通解同学们要注意了
33:23 非齐通解应该等于其次方程组的通解
33:27 加上非齐次方程组的特解
33:29 简单的来说就是非齐通等于齐通加非齐特
33:33 这个同学们应该了解了
33:35 其通我们上一个题型已经讲过了
33:37 那只要得到技术解析啊
33:40 基础解析的线性组合就是启动是吧
33:43 那非齐次特解又该怎么解
33:44 是不是好
33:46 这个地方我们给一个小小的例子啊
33:49 例如我现在有这样一个把非齐次方程组
33:53 它的针管针呢是a杠b啊
33:56 a杠b我们做这个行变换
33:59 把它的行最简型得到是这样一个式子啊
34:04 这样一个式子
34:05 显然我们会发现系数真的值等于多少呢
34:08 系数真的就是最后一列不看
34:10 那么系数真的值是不是等于二
34:13 那针管真的字呢
34:14 真管真的字就最后一列也要看咯
34:16 那他的真管真的字也是等于二的
34:19 但是是不是比它的系数
34:22 矩阵的列也是未知数的个数要小嘞
34:25 也就是说我们可以得到r a等于二
34:28 系数真的值等于二
34:30 针管真的值也等于二
34:31 但是比未知数的个数要小
34:34 未知数的个数其实就是系数矩阵的列数好
34:37 为了解这个非齐次方程组
34:41 首先我们要得到其通嘛
34:43 要得到其同
34:44 我们当然要得到基础解析
34:47 这个齐次方程组才有基础解析
34:51 那基础解析应该怎么做呢
34:53 是不是只看前面的这样四列
34:56 而最后这一列不看啊
34:58 右端项啊
34:59 右端的这个向量b它是不看的
35:02 我们只看这一个系数矩阵的最简型好
35:05 我们会发现系数矩阵的秩等于多少呢
35:07 是不是等于二
35:08 那么记住解析有几个啊
35:11 上一个题型我们讲过
35:12 是不是啊
35:13 基基础解析的所含向量的个数
35:16 是不是应该等于n减r一本题的n等于四二
35:21 a等于二
35:21 所以应该是两个
35:22 各位同学
35:24 那这两个我们说过应该怎么做呀
35:26 是不是cos一等于多少
35:30 cos 2等于多少呢
35:32 首先我们要找到自由变量
35:34 自由变量其实也是两个自由变量
35:37 我们取胜谁呢
35:38 上一个题型我们讲过
35:40 自由变量
35:41 就是应该取最简型当中的这个非拐弯处
35:45 所对应的未知数
35:47 你比方说这样一个非拐弯处
35:49 是不是第三列和第四列
35:52 那也就是说dx 3和x4
35:55 我们必须要取成自由变量
35:58 x3 x4 的位置留下来
36:01 x3 x4 的位置留下来取成呃
36:04 这个自由变量自由变量一般怎么取
36:07 一般取成11001
36:11 这是两个自由变量的取法好
36:13 另外呢其他分量应该怎么取
36:15 是不是一三取相反数
36:17 那是不是-1-3啊
36:19 第二个技术解析的向量是不是应该是第四列的
36:23 二四取相反数-2-4了
36:26 好不好
36:27 这样我们的基础解析就出来了啊
36:30 基础解析有了
36:31 那么我们的启动就有了吗
36:32 其痛应该等于k一倍的cos一加上k2 倍的cos 2
36:36 为了得到非齐通齐通
36:38 有了我们最重还要得到菲奇特
36:40 那么这个非奇特怎么得到
36:42 同学们
36:43 它的特点应该怎么得到
36:45 也就是说我们现在的这个ax等于b
36:48 它的同解方程组是什么
36:50 是不是从这一个最简析当中可以看得到
36:53 它有两个方程呢
36:54 各位同学
36:55 你看第一行
36:56 第一行的方程是什么
36:57 一倍的x1
36:58 零倍的x2 是一倍的x3
37:02 这个二倍的x4 相加
37:04 最后等于一吗
37:05 一倍的x一加上零倍的x2
37:08 不写了啊
37:09 一倍的x3 加上二倍的x4 等于一吗
37:14 好这是第一行所对应的方程
37:16 我们再看第二函数对应的方程
37:18 零倍的x1
37:20 一倍的x2
37:21 三倍的x3
37:22 四倍的x4
37:24 最后相加以后等于二吗
37:26 那也就是x2 加上三倍x3
37:31 加上四倍x4 等于二
37:34 好同学们可以看好啊
37:37 我们要得到这样一个非齐次方程组的特解
37:41 这位同学现在有效方程只有两个
37:45 但是未知数有四个
37:46 未知数有四个
37:48 所以它必然会产生还是一样
37:50 还是产生两个自由变量
37:52 多余的变量叫自由变量
37:53 那这个时候的自由变量注意哦
37:55 它和我们在解基础解析的时候
37:57 自由变量一定要取成一模一样
38:00 基础解析
38:00 我们取x3 x4 为自由变量
38:02 那么这个地方非齐次方程组求特解的时候
38:05 我们也要把x3 x4 取成自由变量
38:08 同学们
38:09 那我们接下来要得到一个特别的解吗
38:12 特别的解
38:12 我们简称n塔好不好
38:14 也就是x1 x2 x3
38:17 x这四个分量分别要取成多少才合适呢
38:21 才可以得到一个特别的结论
38:23 是不是special evolution
38:25 我们知道x3 x4 和x3 x这个地方
38:29 他要去乘什么
38:30 要取成这个自由变量
38:32 自由变量可以取零
38:33 取一取二
38:34 取三取四
38:34 还可以随便的取值
38:36 我们把这个地方的自由变量啊给他关起来
38:39 我们应该举证谁呢
38:40 取成哪一个取取值
38:43 这个最简单最特别自由变量
38:47 照说可以可以取一
38:49 可以取二
38:49 就可以取三个随便取
38:51 但是实际上我们为了得到最简单的特解
38:55 那么把x3 x取成零
38:57 各位同学取成两个零
38:59 那x一就会变成什么
39:00 x一是不是变成一了
39:02 那x3 这个地方的x3 x4 也取乘零
39:06 那x2 就会等于几
39:07 x2 就会得一个二
39:09 看到没有
39:10 所以x3 x取成两个零是最为特别的解
39:15 当然有的人说
39:16 那你既然是自由变量
39:17 我可以自由取值
39:18 我也可以举证一一
39:19 可不可以
39:21 其实道理上也是可以的
39:23 对不对
39:24 道理上我把3x3 x都取成一一
39:27 其实也可以的
39:28 同学们看一下啊
39:29 两个取成一
39:30 那x一等于几
39:32 你把x3 x4 等于一带进去啊
39:35 那x一是不是等于-2
39:37 配个骚扰呢
39:38 我们看一下啊
39:40 那两个都取成1x3 x都选一的话
39:43 那是不是-5
39:45 对不对
39:46 -5
39:47 所以我们也可以得到一个特解
39:48 叫啊负-2-511
39:52 这个也叫特警
39:53 但是我跟你讲
39:55 就是参考答案当中的标准答案一定是什么
39:57 这个自由变量啊
39:59 它不会取成一一的
40:00 虽然他也是对的啊
40:02 虽然也是对的
40:03 但是标准答案一定取得什么
40:05 一定取的是零零
40:06 各位同学一定取的是零零
40:08 因为零零最简单嘛
40:10 同时我们也可以知道啊
40:13 我把上面这个插了啊
40:14 取成一一不好
40:15 同时我们也可以知道
40:17 你会发现这个地方的一二不
40:19 恰好是我最典型的最后一列吗
40:22 你看到没有
40:22 是不是一二最后一列
40:24 最后一列其实就是等号的右边
40:26 而不像取技术解析的时候
40:28 他在一三要取相反数
40:30 二是要取相反数
40:31 因为他要移到等号的右边
40:33 移到等号的右边
40:34 基础解析要移到等号的右边的时候
40:35 这个时候e3 还要取相反数
40:38 二是要取相反数
40:38 但是本身这个一二
40:40 本身这个一二就在等号的右边
40:42 所以他不需要取相反数
40:44 直接可以观察得到
40:46 直接给他照抄一个直接抄下来
40:49 但是自由变量取值零零才可以听明白了吗
40:52 同学们
40:53 也就是说我们得到的n a是1200
40:56 这个一二来自于最后最简单的最后一列好
40:59 这是求非齐次的特解啊
41:02 求特解取称零零啊
41:04 求基础解析取成1001样
41:07 它是有区别的
41:08 好不好
41:09 这样啊
41:10 其通有了非齐特
41:12 有了那非齐通就出来了呀
41:14 所以ax等于b的通解应该等于其通
41:18 加上一个非齐特k1 k2 为任意常数
41:22 同学们好
41:23 作为本题我们应该怎么来求解的
41:26 来我们接下来看
41:27 首先要对这个系数矩阵和这个最后一列642
41:32 构成一个增广矩阵
41:34 我们做行变换
41:35 化成最简形
41:36 把它化成最简形了
41:38 但是化成最简形
41:40 你的二的多少倍嗯
41:42 你可以使得三倍零
41:43 是不是-3/2倍
41:45 这些分数就会很麻烦
41:47 是不是这个二的多少倍加到第
41:51 这个第三列加到第三行
41:53 可以使得九为零
41:55 是负的9/2倍
41:56 是不是有点麻烦
41:57 所以这个时候我们先做一个变化
42:00 先把第二行的-1倍加到第一行
42:03 使得这个二变成-1哎
42:06 使得这个第二个第二啊
42:09 15元素变成-1
42:10 这样好好做一点
42:11 下面的下面的过程就好做一点
42:14 好相应的这个7316都会变啊
42:17 都会变
42:18 那这个五的-1倍加下来是不是二吗
42:21 二的-1倍加上来加到三
42:23 这里是不是一类这个二的-1倍
42:26 四的-1倍都加上去
42:27 分别变成这些好
42:29 这个时候你会发现-1的三倍
42:31 -1的九倍加到第三行
42:33 加到第二行
42:34 那都可以使得这个三九消成零吗
42:37 进而可以一步一步往后变啊
42:40 做行变换自然可以化成他的最简析
42:43 好不好
42:43 这个同学们自己下来做一下啊
42:46 好这个时候我们会发现系数矩阵有几行
42:50 有两行哦
42:51 阶梯性有两行
42:52 所以我们会发现细数据的字等于二
42:56 增广矩阵的秩也等于二
42:58 但是比未知数未知数有几个
43:00 有四个吗
43:01 是不是有四个
43:02 所以呃要比四小
43:05 这个时候我们说它有无穷解
43:09 对不对
43:10 无穷解要得到非齐次方程组的无穷解
43:14 是不是要得到其通加非齐特就可以了啊
43:18 非齐通等于齐通加非齐特
43:20 所以我们先要求基础解析啊
43:24 齐次方程ax等于零的基础解析技术解析
43:27 因为是齐次方程
43:28 所以最后一列是不看的啊
43:30 最后一点不看
43:31 各位同学
43:31 根据我们刚才的解释
43:33 是不是也应该有两个自由变量
43:35 因为它的系数矩阵呃
43:37 七数矩阵的秩是二嘛
43:39 4-2 a也就是4-2
43:41 等于两个自由变量取成什么呢
43:43 自由变量是不是应该取成诶
43:45 非拐弯处所在的变量x3 x4 分别组成什么
43:49 分别取成1001
43:52 其他取相反数哦
43:53 是不是这个你看一下是不是相反数
43:55 这个1/11是不是这个地方的-11分之
43:59 你看这个地方的-十分
44:01 1/11的相反数啊
44:03 5/11的相反数是不是取负号了
44:05 你看都要取负号
44:06 取负号的
44:08 看到了没有
44:09 基础解析
44:10 有了其中就有了好
44:13 这个时候集通有了
44:14 是不是还要得到特解
44:16 非齐特是吧
44:18 非奇特怎么办
44:19 刚才说了自由变量是谁
44:22 非希特
44:22 我说一下啊
44:23 自由变量和基础解析的时候
44:25 自由变量是一样的
44:27 x3 x4 自由变量啊
44:29 但是它的取值不一样
44:31 取值应该取什么
44:32 刚才说最特别的一个特点
44:34 最400小的一个特点也应该是自由变量
44:38 取成零零最好
44:39 当然你非要取成八八也可以啊
44:41 取成八八也是对的
44:42 但是那个时候就复杂一些
44:44 区分零零是标准答案好不好
44:47 就是理念是不要问的
44:49 那么x一和x2 的取值是x3 x4 的取值嘛
44:52 那么x1 x2 的取值是不是照抄就可以了
44:55 照抄就行了是吧
44:57 照抄你不需要不需要变号
44:59 因为它本身就是什么
45:00 本身就是在等号等号的右边不需要变号
45:05 所以我们的n它就出来了
45:07 看是不是这个答案要解一个非齐次方程组
45:10 只需要求出一个函数变形
45:12 那么其他的直接秒杀观察就可以
45:16 你听明白了吗
45:17 好特解也有了
45:20 因为这个基础解系列为了
45:21 所以通解应该等于k一倍的cos
45:23 1k2 倍的cos 2加上一个n2
45:25 其中k1 k2 倍任意常数
45:27 好吧好
45:29 这是第二种题型的非齐次方程组
45:32 还有一种题型常考题型
45:33 就是这种带有参数的方程组的求解
带参数方程组的求解 45:35
45:36 比方说我们来一道这样的题
45:39 a是你看那么大那么大那么大是吧
45:43 哎都是带有参数的
45:45 还有一个a啊
45:46 你看有两种参数是吧
45:48 那么请问这个非齐次方程组在什么条件下
45:51 在存在两个不同的解的条件下
45:54 请你求出参数的取值
45:56 同时诶参数取值求完了以后
45:59 你可以得到一个通解吗
46:01 那这种题呢还是比较常见的
46:04 那我们刚才讲过一个事情呢
46:06 一个非齐次方程组只有三种情况
46:09 要么是无穷解
46:11 要么是唯一解
46:13 要么是无解
46:15 哪哪哪来的两个解呢
46:17 两个解是指什么
46:20 两个解肯定不是唯一解
46:22 两个解肯定不是无解
46:24 两个解一定是无穷个解当中的某两个特殊情况
46:28 是不是无穷解
46:30 是不是应该等于k一倍的cos一加上k2 倍的cos
46:33 二怎样加上一个n塔
46:34 我举个例子啊
46:36 这是无穷解的通解吗
46:37 取k一等于一
46:39 k2 等于三
46:40 那么是不是可以得到x的一个有一个解
46:43 然然后再取k一等于零
46:45 k2 等于八
46:46 是不是又可以得到另外一个解
46:48 这两个结叫两个不同的节目
46:52 是不是两个不同的解
46:53 所以如果说一个方程组
46:55 如果说某一个题当中
46:56 说一个方程组存在着两个不同的解
46:59 存在着三个不同的解
47:00 存在着四个不同的解
47:01 那么它的含义就是
47:03 这个方程组一定是有无穷个解
47:06 你能理解吗
47:07 那一个方程组有两个不同的解
47:10 阿尔法一阿尔法二的话
47:11 那么它一定是含义就是有无穷可解
47:14 那有无穷可解释啥子意思呢
47:17 是不是系数矩阵的秩要等于增广矩阵的秩
47:20 还要比未知数的个数要小嘞
47:24 好我们来求解啊
47:26 那既然有提议有无穷可解
47:28 有无穷可解
47:29 就是系数中的字等于针管
47:31 真的字要比未知数的个数小
47:33 未知数有几个
47:34 也就是系数矩阵的列数
47:36 就是未知数的个数啊
47:37 有三个未知数好不好
47:41 好那么为了通过这个字
47:44 因为为了为了通过这个字来求拉姆达和a
47:48 所以我们要对增广阵做行变化
47:50 求职针管
47:51 这等于多少
47:52 a杠b嘛
47:54 就是把a照抄啊
47:55 b照抄下来就行了
47:57 没有什么好说的
47:58 你把它带进去啊
48:00 是不是你在做行变换
48:02 做行变换
48:03 是不是拉马达的负拉马达分之一倍往下加
48:06 好像不是很好加
48:08 那这个时候我们先做一个变化
48:10 把守元素变成一嘛
48:11 注意只能做行变化哦
48:13 有的人说我悄悄的把第一列和第二列
48:17 第第一列和第二列交换位置
48:19 那首元素不就变成一了吗
48:20 不准做列变换
48:21 解方程组只能做行变化
48:24 听到没有
48:24 要记住
48:25 所以我们先把第一行和第三行交换位置
48:29 使得守元素变成一
48:31 就是行行变换某一行的多少倍加到另外一行
48:35 某两行交换位置都是可以的
48:36 但是千千万不能做列变化啊
48:39 强调一下好嘞
48:43 接下来我们把第一元素的负拉玛的被往下加
48:47 同样的这个一啊的负拉姆达
48:49 拉姆达的嗯
48:50 嗯负拉姆达一的负拉姆达都要往下加哦
48:52 化成行阶梯形
48:54 画成这样的形式啊
48:57 各位同学为了使得这样一个成立
49:00 要是r a等于二
49:01 a杠b小于三
49:03 那你觉得要小于三
49:06 你是不是最后这两个元素要等于零才可以
49:09 是不是这两个最后这两个元素肯定要等于零
49:11 那你阶梯形怎么画呢
49:13 如果画到下面
49:13 非零是不是接近它是自由等于三呢
49:16 是不是
49:17 所以我们一定可以推出什么一减拿马的平方
49:20 必须等于什么零
49:21 还有a减拿马的加一是不是必须等于零
49:26 是不是好这个这两个等于零
49:28 就是这两个是零元素啊
49:30 这个就不用看了啊
49:31 最后一行就不看了哦
49:32 是不是相当于这两个是领域约束
49:34 最后一行就不看了
49:35 所以它的阶梯性是这样的好
49:37 为了使的是这样
49:38 那么拉姆达减一能不能等于零呢
49:40 如果拉姆达减1=0就完蛋了啊
49:43 这为什么玩玩到了这一项是没有了
49:45 这一项是没有了
49:46 你会发现系数真的值为一
49:48 系数真的值为一
49:49 但是针管子的字为几
49:51 针管真的值为二
49:52 那就系数真的秩不等于什么
49:55 不等于增广阵的秩
49:57 那是不是无解
49:58 它不会是无穷解的情况了
50:00 前面没有再来再来一遍再来一遍
50:02 如果那么a减1=0
50:04 这一项是没有来
50:05 这一项是零
50:06 那么系数真的接阶梯形是不是只有一行
50:09 而针管针的阶梯型是不是有两行
50:10 那不相等不相等是无解的情况
50:13 所以那么大减一不能等于零
50:15 不能等于零
50:17 满足这三条就可以把那么的a求出来
50:20 听明白了吗啊
50:22 那么大加一不能等于零
50:24 最后两个月数等于零就可以了
50:26 这个样子当然好求了
50:27 这个兰姆达等于正-1嘛
50:29 那么等又不等于一
50:30 所以拉姆达等于最后等于-1
50:32 那么等于-1带到这个里面去做
50:34 a等于-2好这是第一问
50:38 解决了
50:39 我们再看第二问
50:41 就是要求通解嘛
50:46 要求通解要对针管
50:48 真的要对针管镇做行变换
50:51 此时我们要把谁带进去
50:52 把拉满了
50:53 等于-1带进去啊
50:54 a等于-2带进去
50:55 带进去带进去可以得到它的阶梯性
50:58 是这样的是吧
50:59 接地性最后变成这个样子
51:03 但它仅仅只是阶梯型哦
51:05 它仅仅只是阶梯型啊
51:08 为什么他不是最典型
51:10 因为他的拐弯处
51:11 第二个拐弯处它不是单位向量010嘛
51:14 第二个拐弯处是010
51:15 第一个拐弯处是100
51:16 这样才叫最简型嘛
51:19 你听懂了没
51:19 有
51:20 什么叫最典型
51:21 就是拐弯处必须是单位向量
51:23 而第二个拐弯处它不是单位向量
51:25 这是第二个拐弯处
51:27 它不是单位向量
51:27 怎么办
51:28 那那那那那你是把把这个-2的几倍
51:31 把-2的1/2倍加到第一行
51:34 把这个削成零吧
51:36 同时把这个-2的第二行除以-2
51:39 也可以把这个-2变成一
51:41 那进而可以变成最艰辛的
51:43 同学们自己想画一下啊
51:45 你想办法只能做行变换
51:47 只能做行变换
51:49 不能做列变换
51:50 小心啊
51:51 那这个时候我会发现它果然是一个系数矩阵的
51:57 秩等于二啊
51:58 针管中的字是不是也等于二
52:00 都是等于二
52:02 但是你会发现它都小于三吗
52:04 是不是都小于三嘛
52:06 你看系数正的秩等于二
52:08 正管正的秩也等于二
52:08 都比三小啊
52:10 多比三小
52:13 只有这个自由变量有几个自由变量
52:15 注意哦
52:16 自由变量是不是有一个为什么哎
52:19 计数解析有一个呀
52:20 它是不是呃
52:21 这个n减r a n就是系数矩阵的列数
52:25 系数正不是正光正呢
52:27 系数正有三例
52:28 所以系数增未知数有三个未知数
52:31 就是系数系数增的列数等于未知数个数好不好
52:34 n减2a那r a等于二
52:36 所以那有一个有一个自由变量
52:40 也就是基础解析有一个吗
52:42 一个这么求自由变量取值谁
52:44 自由变量是不是取成2x3
52:46 非拐弯处取为自由变量
52:48 所以自由
52:49 所以技术解析等于什么
52:50 技术解析是不是最后一列不看哦
52:52 注意啊
52:53 基础解析最后一列是不看的
52:55 是不是cos x3 矩阵器
52:59 x3 取胜于一cos cos你就注意哦
53:02 x3 的位置留下自由变量取成一吗
53:05 一个自由变量取成一是吧
53:07 其他取相反数-10
53:09 取相反数110吗
53:11 是不是去年下半数就可以了
53:13 技术解析就有了好了
53:16 那么这个时候是不是还要求一下特技啊
53:18 同学们
53:19 特辑n它对不对
53:23 非齐特非齐特怎么求啊
53:25 嗯还是x3 为自由变量
53:27 x3 取自由变量要要取成零哦
53:30 非奇特的时候要求乘零啊
53:32 并且其他两个元素是照抄的
53:35 不要去相反数
53:37 直接观察法就可以得到好了
53:41 基础解析有了其通
53:42 就有了非其特有了
53:44 所以我们当然可以得到非齐通解
53:46 应该等于k1 b的cos一加上一个特解n
53:50 它k为任意常数
53:53 好啦
53:54 同学们
53:54 这就是方程组的几种题型