《线性代数》4 小时速成课（不挂科）矩阵第二讲字幕总结

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原字幕笔记：矩阵第二讲
本节主题：求解矩阵方程、方阵的行列式、矩阵的秩。

一句话总结

本讲继续矩阵计算题型：矩阵方程的核心是根据未知矩阵 $X$ 的位置，选择在左边或右边乘逆矩阵；方阵行列式重点掌握逆、转置、数乘、伴随矩阵的行列式公式；矩阵的秩则通过行初等变换化为行阶梯形，再数非零行。

章节脉络

1. 求解矩阵方程：区分 $AX=B$、$XA=B$、$AXB=C$ 等形式，注意矩阵乘法左右顺序不能乱。
2. 方阵的行列式：掌握 $|A^{-1}|$、$|A^T|$、$|kA|$、$|A^{\ast }|$ 等常用公式。
3. 矩阵的秩：用行初等变换化为阶梯形矩阵，秩等于非零行数。

1. 求解矩阵方程

1.1 三种基本形式

矩阵方程中未知矩阵 $X$ 的位置不同，解法也不同。

形式 1：未知矩阵在右侧

$$AX=B$$

若 $A$ 可逆，则左乘 $A^{-1}$：

$$X=A^{-1}B$$

形式 2：未知矩阵在左侧

$$XA=B$$

若 $A$ 可逆，则右乘 $A^{-1}$：

$$X=B{A}^{-1}$$

形式 3：未知矩阵在中间

$$AXB=C$$

若 $A$、$B$ 都可逆，则左乘 $A^{-1}$，右乘 $B^{-1}$：

$$X=A^{-1}C{B}^{-1}$$

关键提醒

矩阵乘法一般不满足交换律，所以「乘逆矩阵」时必须看清楚是左乘还是右乘，不能随意调换顺序。

1.2 二阶系数矩阵：两调一除

当系数矩阵是二阶矩阵：

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

若：

$$|A|=ad-bc\ne 0$$

则：

$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$

口诀仍是：

两调一除

主对角线元素调换，副对角线元素变号，再整体除以行列式。

1.3 三阶系数矩阵：行变换求逆

三阶矩阵没有「两调一除」的直接公式，通常使用行初等变换：

$$(A\mid E)⟶(E\mid A^{-1})$$

步骤概括：

1. 先判断 $|A|\ne 0$，确认 $A^{-1}$ 存在；
2. 写出增广矩阵 $(A\mid E)$；
3. 对整体做行初等变换；
4. 当左半部分化为单位矩阵 $E$ 时，右半部分就是 $A^{-1}$；
5. 再按矩阵方程形式求 $X$。

例如 $XA=B$ 时，不能写成 $A^{-1}B$，而应写成：

$$X=B{A}^{-1}$$

2. 含伴随矩阵的矩阵方程

2.1 伴随矩阵的核心性质

$A^{\ast }$ 表示 $A$ 的伴随矩阵。它有两个常用结论：

$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$$

若 $A$ 可逆，则：

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}$$

也可以写成：

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$$

2.2 方程处理思路

课程中的复杂例题含有类似形式：

$$A^{\ast }X=A^{-1}B+2X$$

这类题的关键不是先硬算 $A^{\ast }$，而是利用伴随矩阵性质化简。

处理步骤：

1. 方程两边左乘 $A$；
2. 利用 $A{A}^{\ast }=|A|E$；
3. 利用 $A{A}^{-1}=E$；
4. 将所有含 $X$ 的项移到一侧；
5. 把 $X$ 的系数矩阵看作整体，再求逆。

具体化简为：

$$A{A}^{\ast }X=A(A^{-1}B+2X)$$ $$|A|X=B+2AX$$

若题中 $|A|=4$，则：

$$4X=B+2AX$$

移项得：

$$(4E-2A)X=B$$

因此：

$$X=(4E-2A{)}^{-1}B$$

后续再用行变换求 $(4E-2A{)}^{-1}$，最后与 $B$ 相乘即可。

处理伴随矩阵题的优先级

看到 $A^{\ast }$，优先想到 $A{A}^{\ast }=|A|E$ 和 $A^{\ast }=|A|A^{-1}$，不要一上来就展开伴随矩阵。

3. 方阵的行列式

3.1 方阵才能求行列式

只有方阵才能求行列式，例如二阶、三阶、$n$ 阶矩阵。

二阶行列式：

$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$$

三阶及更高阶行列式，可以通过化三角形、展开等方法计算。

3.2 常用公式

公式 1：逆矩阵的行列式

$$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$$

原因是：

$$A^{-1}A=E$$

两边取行列式：

$$|A^{-1}||A|=|E|=1$$

公式 2：转置不改变行列式

$$|A^T|=|A|$$

即矩阵转置后，行列式的值不变。

公式 3：数乘矩阵的行列式

若 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，$k$ 是常数，则：

$$|kA|=k^n|A|$$

易错点

$kA$ 表示矩阵中每个元素都乘以 $k$。求行列式时，相当于每一行都能提出一个 $k$，所以一共提出 $n$ 个 $k$，不是只提出 1 个 $k$。

公式 4：伴随矩阵的行列式

若 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，则：

$$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$$

推导思路：

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}$$

两边取行列式：

$$|A^{\ast }|=||A|A^{-1}|$$

由于 $|A|$ 是一个数，对 $n$ 阶矩阵数乘时要变成 $|A{|}^n$，所以：

$$|A^{\ast }|=|A{|}^n|A^{-1}|=|A{|}^n\cdot \frac{1}{|A|}=|A{|}^{n-1}$$

3.3 和的行列式不是行列式的和

一个非常常见的错误是：

$$|A+B|=|A|+|B|$$

这个等式一般不成立。

也就是说：

$$|A+B|\ne |A|+|B|$$

必须避免

行列式对「矩阵加法」没有这种线性性质。遇到 $|A+B|$，应先化简矩阵内部，再整体求行列式。

3.4 例题思路：含 $A^{\ast }$ 的行列式

若题目给出 $A$ 是三阶矩阵，且 $|A|=\frac{1}{2}$，要求类似：

$$\left|\frac{1}{3}{A}^{-1}-2A^{\ast }\right|$$

处理思路：

1. 先用 $A^{\ast }=|A|A^{-1}$；
2. 因为 $|A|=\frac{1}{2}$，所以 $2A^{\ast }=A^{-1}$；
3. 原式内部化为同类项：

$$\frac{1}{3}{A}^{-1}-A^{-1}=-\frac{2}{3}{A}^{-1}$$

4. 再求行列式：

$$\left|-\frac{2}{3}{A}^{-1}\right|$$

5. 因为是三阶矩阵，常数提出要三次方：

$${\left(-\frac{2}{3}\right)}^3|A^{-1}|$$

6. 又因为：

$$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=2$$

最终：

$${\left(-\frac{2}{3}\right)}^3\cdot 2=-\frac{16}{27}$$

4. 矩阵的秩

4.1 行阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵的核心特征：

• 每一行的首个非零元素所在列，要比下一行首个非零元素所在列更靠左；
• 阶梯下面全是 0；
• 零行可以出现在底部；
• 若某行全为 0，则画阶梯时可以直接水平向右，不再向下拐。

通俗地说：非零行的「首个非零元素」要一行比一行靠右，形成台阶形状。

4.2 秩的求法

通过行初等变换，把矩阵 $A$ 化为行阶梯形矩阵 $B$：

$$A\sim B$$

则：

$$r(A)=r(B)$$

而阶梯形矩阵的秩等于其中非零行的行数。

求秩口诀

先化阶梯形，再数非零行。

4.3 普通矩阵求秩步骤

1. 通过交换行，把适合作为首元的行放到上方；
2. 用倍加变换把首元下方元素消成 0；
3. 继续对下一列做同样操作；
4. 化成行阶梯形；
5. 数非零行个数，即为矩阵的秩。

课程例题中，一个 $3\times 4$ 矩阵经过行变换后化为只有 2 个非零行的阶梯形，因此：

$$r(A)=2$$

4.4 含参数矩阵的秩

含参数矩阵求秩时，不能只看表面阶梯形，还要判断参数取特殊值时，某些行是否会变成零行。

课程例题中，化阶梯形后，非零行数与参数 $k$ 有关：

• 当 $k=1$ 时，后面若干关键元素同时为 0，阶梯形只剩 1 个非零行：

$$r(A)=1$$

• 当 $k=-2$ 时，阶梯形有 2 个非零行：

$$r(A)=2$$

• 当 $k\ne 1$ 且 $k\ne -2$ 时，阶梯形有 3 个非零行：

$$r(A)=3$$

含参秩题易错点

化出阶梯形后，不要立刻数非零行。要先检查含参数的主元是否可能为 0，并按参数取值分类讨论。

5. 做题流程整理

5.1 矩阵方程

1. 判断未知矩阵 $X$ 在左边、右边还是中间；
2. 判断系数矩阵是否可逆；
3. 根据位置选择左乘或右乘逆矩阵；
4. 二阶矩阵用「两调一除」求逆；
5. 三阶及以上用行变换求逆；
6. 最后按矩阵乘法顺序计算结果。

5.2 方阵行列式

1. 先确认矩阵是方阵；
2. 看到 $A^{-1}$，想到 $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$；
3. 看到 $A^T$，想到 $|A^T|=|A|$；
4. 看到 $kA$，注意 $|kA|=k^n|A|$；
5. 看到 $A^{\ast }$，想到 $A^{\ast }=|A|A^{-1}$ 和 $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$；
6. 遇到 $|A+B|$，不要拆成 $|A|+|B|$。

5.3 矩阵的秩

1. 用行初等变换化为阶梯形；
2. 保证首个非零元素逐行右移；
3. 阶梯下面应全为 0；
4. 数非零行个数；
5. 含参数题要对参数特殊值分类讨论。

6. 易错点汇总

• 解 $AX=B$ 时是 $X=A^{-1}B$，解 $XA=B$ 时是 $X=B{A}^{-1}$，左右顺序不能错。
• 矩阵方程中不能因为形式像普通代数方程，就随意「移项、约分、交换顺序」。
• 看到 $A^{\ast }$ 应优先用伴随矩阵性质，不要直接硬算伴随矩阵。
• $|kA|=k^n|A|$，不是 $k|A|$。
• $|A+B|\ne |A|+|B|$，这是行列式题中的高频错误。
• 求秩时，行初等变换不改变秩。
• 含参数矩阵化为阶梯形后，要检查参数让主元变 0 的情况。

7. 重点公式速查

矩阵方程

$$AX=B\Rightarrow X=A^{-1}B$$ $$XA=B\Rightarrow X=B{A}^{-1}$$ $$AXB=C\Rightarrow X=A^{-1}C{B}^{-1}$$

伴随矩阵

$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$$ $$A^{\ast }=|A|A^{-1}$$ $$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$$

方阵行列式

$$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$$ $$|A^T|=|A|$$ $$|kA|=k^n|A|$$ $$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$$ $$|A+B|\ne |A|+|B|$$

矩阵的秩

$$A\sim B\Rightarrow r(A)=r(B)$$ $$r(A)=\text{阶梯形矩阵中非零行的个数}$$