《线性代数》4 小时速成课（不挂科）二次型字幕总结

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原字幕笔记：二次型
视频章节：二次型的矩阵表示、二次型的标准形、正定二次型与正定矩阵。

一句话总结

本节围绕二次型的 3 类常考题展开：先把二次型写成对称矩阵形式 $f=x^{T}Ax$，再用配方法或正交变换法化为标准形，最后利用特征值或顺序主子式判定正定性。

章节脉络

1. 二次型的矩阵表示：根据平方项系数和交叉项系数写出对称矩阵，并用矩阵秩处理参数题。
2. 二次型的标准形：介绍配方法与正交变换法，目标都是消去交叉项，只保留平方项。
3. 正定二次型、正定矩阵：说明二次型正定等价于对应矩阵正定，并给出常用判定方法。

1. 二次型的矩阵表示

1.1 基本形式

二次型可以写成：

$$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=x^{T}Ax$$

其中：

$$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),A=A^T$$

也就是说，二次型对应的矩阵 $A$ 必须写成对称矩阵。

1.2 写矩阵的 3 个要点

对于二次型对应矩阵 $A=(a_{ij})$：

1. $A$ 必须是对称矩阵。
2. 主对角元素 $a_{ii}$ 是平方项 $x_i^2$ 的系数。
3. 非主对角元素 $a_{ij}=a_{ji}$ 是交叉项 $x_i{x}_j$ 系数的一半。

例如，若交叉项为 $6x_1{x}_2$，则：

$$a_{12}=a_{21}=3$$

因为在 $x^{T}Ax$ 展开时，$a_{12}{x}_1{x}_2$ 与 $a_{21}{x}_2{x}_1$ 会合并成 $2a_{12}{x}_1{x}_2$。

1.3 三元二次型矩阵写法

三元二次型中，矩阵一般为：

$$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$$

写法仍然遵循：

• $a_{11},a_{22},a_{33}$：分别取 $x_1^2,x_2^2,x_3^2$ 的系数；
• $a_{12}=a_{21}$：取 $x_1{x}_2$ 系数的一半；
• $a_{13}=a_{31}$：取 $x_1{x}_3$ 系数的一半；
• $a_{23}=a_{32}$：取 $x_2{x}_3$ 系数的一半。

1.4 二次型的秩

二次型 $f$ 的秩，等于它对应矩阵 $A$ 的秩：

$$r(f)=r(A)$$

所以遇到「已知二次型的秩，求参数」的问题，流程是：

1. 先写出二次型对应矩阵 $A$；
2. 对 $A$ 作初等行变换，化为阶梯形；
3. 根据非零行数满足题设秩，令多余项为 $0$；
4. 解出参数。

字幕中的例题给出三元二次型且已知 $r(f)=2$，先写出矩阵 $A$，再化阶梯形，最后由第三行关键元素必须为 $0$，得到参数条件 $c=3$。

2. 二次型的标准形

2.1 标准形的含义

只含平方项、不含交叉项的二次型叫做标准形，例如：

$$f=d_1{y}_1^2+d_2{y}_2^2+\cdots +d_n{y}_n^2$$

化标准形的本质是：通过换元，把含有 $x_i{x}_j$ 的交叉项消掉。

本节主要讲两种常用方法：

1. 配方法；
2. 正交变换法。

Note

老师提到还有「初等变换法」，但一般线性代数期末或非数学专业课程主要掌握配方法和正交变换法即可。

3. 配方法化标准形

3.1 完全平方的核心思想

配方法的基础是完全平方公式：

$$a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$$

如果原式中只有 $a^2+ab$，可以将 $ab$ 看成：

$$ab=2a\cdot \frac{b}{2}$$

于是：

$$a^2+ab=a^2+2a\cdot \frac{b}{2}={\left(a+\frac{b}{2}\right)}^2-{\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$

更一般地，若有：

$$a^2+a\cdot B$$

其中 $B$ 是一个整体表达式，则：

$$a^2+aB={\left(a+\frac{B}{2}\right)}^2-{\left(\frac{B}{2}\right)}^2$$

3.2 配方法的一般步骤

以三元二次型为例：

1. 先配所有含 $x_1$ 的项：把含 $x_1$ 的平方项和交叉项放在一起。
2. 提取 $x_1$，把剩余表达式看作一个整体。
3. 加一项、减一项，构造完全平方。
4. 展开剩余部分，再继续配所有含 $x_2$ 的项。
5. 依次处理，直到所有项都包含在平方项中。
6. 令平方项中的底数为新变量 $y_i$，得到标准形。

3.3 字幕例题的配方法结果

字幕中的例题先对含 $x_1$ 的项配方，得到类似：

$$2{\left(x_1+\frac{1}{2}(x_2+x_3)\right)}^2$$

再对剩余含 $x_2$ 的项配方，得到：

$$\frac{3}{2}(x_2-x_3{)}^2$$

最后可令：

$$\{\begin{array}{l}{y}_1=x_1+\frac{1}{2}(x_2+x_3)\\ y_2=x_2-x_3\\ y_3=x_3\end{array}$$

于是标准形为：

$$f=2y_1^2+\frac{3}{2}{y}_2^2+0\cdot y_3^2$$

通常 $0\cdot y_3^2$ 可以省略，写成：

$$f=2y_1^2+\frac{3}{2}{y}_2^2$$

4. 正交变换法化标准形

4.1 正交变换法的思路

正交变换法本质上是对实对称矩阵进行正交对角化。

若：

$$f=x^{T}Ax$$

且 $A$ 是实对称矩阵，则存在正交矩阵 $K$，使得：

$$K^{T}AK=\Lambda$$

其中 $\Lambda$ 是由特征值组成的对角矩阵。令：

$$x=Ky$$

则：

$$f=y^T{K}^{T}AKy=y^T\Lambda y$$

也就是：

$$f={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$$

4.2 正交变换法 6 步

1. 写出二次型对应的对称矩阵 $A$。
2. 求 $A$ 的特征值。
3. 求各特征值对应的特征向量。
4. 对同一特征值下不正交的特征向量作施密特正交化。
5. 将所有正交特征向量单位化。
6. 将单位特征向量按列组成正交矩阵 $K$，令 $x=Ky$，得到标准形。

4.3 求特征值与特征向量

求特征值通常解特征方程：

$$|\lambda E-A|=0$$

字幕例题中，特征方程化简后得到：

$$(\lambda -3{)}^2\lambda =0$$

因此特征值为：

$${\lambda }_1={\lambda }_2=3,{\lambda }_3=0$$

对应地：

• $\lambda =3$ 是二重根，对应 2 个线性无关特征向量；
• $\lambda =0$ 是单根，对应 1 个线性无关特征向量。

字幕中给出的特征向量可概括为：

$${\alpha }_1=(1,1,0{)}^T,{\alpha }_2=(1,0,1{)}^T,{\alpha }_3=(-1,1,1{)}^T$$

不同特征值对应的特征向量天然正交；同一重特征值对应的特征向量不一定正交，需要检查。

4.4 施密特正交化

字幕例题中：

$${\alpha }_1\cdot {\alpha }_2=1\ne 0$$

所以 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 不正交，需要正交化。

令：

$${\beta }_1={\alpha }_1$$ $${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1$$

代入可得：

$${\beta }_1=(1,1,0{)}^T$$ $${\beta }_2={\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1\right)}^T$$

检验：

$${\beta }_1\cdot {\beta }_2=0$$

说明正交化成功。

4.5 单位化与组成正交矩阵

把 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\alpha }_3$ 单位化：

$${\xi }_i=\frac{v_i}{\Vert v_i\Vert }$$

再将单位向量按列组成：

$$K=({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)$$

因为每列都是单位向量，并且两两正交，所以 $K$ 是正交矩阵。

令：

$$x=Ky$$

则标准形为：

$$f=3y_1^2+3y_2^2+0\cdot y_3^2$$

也可以写成：

$$f=3y_1^2+3y_2^2$$

4.6 配方法和正交变换结果为什么可能不同

字幕中提到一个疑问：配方法得到的系数是 $2,\frac{3}{2},0$，正交变换得到的是 $3,3,0$，看起来不一样。

这是正常现象：

• 配方法使用的是一般可逆线性变换，得到的标准形系数不唯一；
• 正交变换法使用正交矩阵，得到的对角系数就是矩阵的特征值；
• 真正不变的是二次型的惯性指标，即正平方项、负平方项和零平方项的个数。

本例中两种方法都得到 2 个正平方项、0 个负平方项、1 个零平方项，因此惯性指标一致。

5. 正定二次型与正定矩阵

5.1 基本等价关系

二次型 $f=x^{T}Ax$ 正定，等价于对应矩阵 $A$ 正定。

也就是说，对任意非零向量 $x$：

$$f(x)=x^{T}Ax>0$$

则称 $f$ 为正定二次型，$A$ 为正定矩阵。

5.2 正定的常用判定方法

方法 1：特征值判定

若 $A$ 的所有特征值都大于 $0$，则 $A$ 正定：

$${\lambda }_i>0(i=1,2,\cdots ,n)$$

等价地，标准形中正平方项的个数等于未知数个数。

5.3 正惯性指数

正惯性指数指标准形中正平方项的个数。

例如：

$$f=3y_1^2+3y_2^2+0\cdot y_3^2$$

其中正平方项有 2 个，所以正惯性指数为：

$$p=2$$

注意：$0\cdot y_3^2$ 不算正平方项。

方法 2：顺序主子式判定

对于实对称矩阵，若各阶顺序主子式都大于 $0$，则矩阵正定。

设：

$$A=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$$

则：

• 一阶顺序主子式：

$${\Delta }_1=a$$

• 二阶顺序主子式：

$${\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ d& e\end{array}\right|$$

• 三阶顺序主子式：

$${\Delta }_3=|A|$$

正定条件为：

$${\Delta }_1>0,{\Delta }_2>0,{\Delta }_3>0$$

5.4 字幕例题的正定条件

字幕例题中，先根据二次型写出矩阵 $A$：

• 主对角线取平方项系数；
• 交叉项 $x_2{x}_3$ 的系数为 $-2$，所以对应矩阵中的两个对称位置为 $-1$；
• 没有 $x_1{x}_2$、$x_1{x}_3$ 交叉项，所以对应位置为 $0$。

然后用顺序主子式判定：

$${\Delta }_1=1>0$$ $${\Delta }_2=a+1>0$$ $${\Delta }_3=a>0$$

综合得到：

$$a>0$$

做题流程整理

A. 写二次型矩阵

1. 确定变量个数，写出 $n\times n$ 矩阵。
2. 主对角线填平方项系数。
3. 非主对角线填交叉项系数的一半。
4. 保证矩阵对称。
5. 写成 $f=x^{T}Ax$。

B. 已知二次型秩求参数

1. 写出矩阵 $A$。
2. 利用 $r(f)=r(A)$。
3. 对 $A$ 化阶梯形。
4. 根据题设秩确定非零行数量。
5. 令关键元素满足条件，解参数。

C. 配方法化标准形

1. 先配含 $x_1$ 的所有项。
2. 把交叉项整体看成 $x_1\cdot B$。
3. 用 $x_1^2+x_{1}B={\left(x_1+\frac{B}{2}\right)}^2-{\left(\frac{B}{2}\right)}^2$。
4. 再处理剩下含 $x_2$ 的项。
5. 依次配到只剩平方项。
6. 令每个平方项底数为新变量 $y_i$。

D. 正交变换化标准形

1. 写出 $A$。
2. 求 $|\lambda E-A|=0$，得到特征值。
3. 分别求特征向量。
4. 同一特征值下不正交的向量要施密特正交化。
5. 全部单位化。
6. 组成正交矩阵 $K$，令 $x=Ky$。
7. 标准形系数就是特征值。

E. 判定正定

1. 先写出二次型对应矩阵 $A$。
2. 若用特征值法：检查所有特征值是否 $>0$。
3. 若用顺序主子式法：检查 ${\Delta }_1,{\Delta }_2,\cdots ,{\Delta }_n$ 是否全部 $>0$。
4. 有参数时，列不等式组并取交集。

易错点汇总

1. 交叉项系数不要直接填入矩阵：矩阵非主对角元素填的是交叉项系数的一半。
2. 矩阵必须对称：$a_{ij}$ 与 $a_{ji}$ 要相等。
3. 二次型的秩不是变量个数：它等于对应矩阵的秩。
4. 配方法中加减项要考虑外层系数：如果外面有系数，减去的补偿项也要乘上该系数。
5. 标准形不一定唯一：不同变换方法得到的标准形系数可能不同。
6. 正交变换的标准形系数是特征值：这是正交对角化的结果。
7. 正惯性指数只数正平方项：系数为 $0$ 的平方项不算正项。
8. 正定判定要用顺序主子式：不是任意主子式，期末常考的是各阶顺序主子式全大于 $0$。
9. 特征向量正交化只需处理同一特征值下的不正交向量：不同特征值对应的特征向量天然正交。

重点公式速查

二次型矩阵表示

$$f=x^{T}Ax$$ $$A=A^T$$ $$a_{ii}=x_i^2\text{ 的系数}$$ $$a_{ij}=a_{ji}=\frac{1}{2}(x_i{x}_j\text{ 的系数})(i\ne j)$$

二次型的秩

$$r(f)=r(A)$$

配方法核心公式

$$a^2+aB={\left(a+\frac{B}{2}\right)}^2-{\left(\frac{B}{2}\right)}^2$$

正交变换

$$K^{T}AK=\Lambda$$ $$x=Ky$$ $$f=x^{T}Ax=y^T\Lambda y=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{y}_i^2$$

施密特正交化

$${\beta }_1={\alpha }_1$$ $${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1$$

单位化

$$\xi =\frac{\beta }{\Vert \beta \Vert }$$

正定判定

特征值法：

$$A\text{ 正定}⟺{\lambda }_i>0(i=1,2,\cdots ,n)$$

顺序主子式法：

$$A\text{ 正定}⟺{\Delta }_1>0,{\Delta }_2>0,\cdots ,{\Delta }_n>0$$