简介
应广大同学们的要求，老师又新上传了《高等数学（上）》、《高等数学（下）》、《概率论与数理统计》的速成课，快去看看吧。另外，如果可以的话，请同学们多多分享！ 配套电子讲义、章节练习题：在置顶评论区有获取方法
章节
00:00二次型的矩阵表示10:43二次型的标准形38:09正定二次型、正定矩阵
字幕
二次型的矩阵表示 00:00
00:00 好同学们大家好
00:03 我们接下来讲第六讲
00:05 二次型
00:06 同样是三种题型嗯
00:10 也是三种常见的题型啊
00:13 第一种呢就是二次型的矩阵的表示
00:18 有这样一道例题啊
00:19 同学们把下列二字形它的矩阵写出来
00:24 要写出二次型的矩阵
00:26 第一个比较简单
00:27 是两个变量的二次型啊
00:31 两个变量的第二个题呢是三个变量的二次型
00:35 要你写矩阵这个地方
00:38 我们要复习到这样一个事情
00:39 二次型矩阵呢要具有三要素了
00:42 第一要素这个矩阵要求是对称的
00:46 是对称矩阵
00:48 这个a矩阵呢你写出来a矩阵必须是对称的
00:51 我待会教你怎么写啊
00:53 怎么把它写成一个对称矩阵
00:56 第二个这个矩阵a的主对角元素为平方项系数
01:03 你看这个二字形是有平方向
01:06 又有交叉相嘛
01:08 对不对
01:08 平方项系数就是主对角元素了
01:12 那a的非主对角元素呢
01:15 其他元素其他元素就是交叉项系数的一半
01:19 还是特别好写的啊
01:20 你比方说第一个题它是一个二元的二次型啊
01:25 两个变量的二次型叫二元二次型
01:27 那么此时我们要把它写成矩阵的形式
01:31 它应该等于x1 x2
01:33 这样一个含向量乘以一个矩阵
01:36 再乘以x1 x2 的列向量
01:39 我们把中间这个矩阵记为a你会发现一个问题
01:43 这个a是怎么构成的
01:44 你看主对角元素是不是平方项的系数
01:48 两个平方项系数二和-1吗对吧
01:51 其他元素
01:52 其他元素是不是被交叉项系数的一半
01:56 交叉项是不是六倍x1 x2
01:59 所以交叉项的系数是六
02:01 那分成一半是不是三和三
02:05 对不对
02:05 交叉项系数的一般很好写的
02:08 那至于为什么这个二字形
02:10 我这为什么二字形可以写成这个表达形式呢
02:13 我给大家解释一下吧
02:14 同学们听好
02:16 你看啊
02:17 这个六倍的x1 x2 其实可以写成什么
02:20 它可以写成三倍的x1 x2
02:23 加上三倍的x2 x1
02:26 你同意吗
02:27 于是这样三项就可以写成什么
02:30 这样三项就可以写成二倍的x一的平方
02:34 加上三倍x1 x x2
02:36 加上三倍x2 x1
02:39 再减去平方向x2 的平方吗
02:42 那这个前两项我可不可以提一个公因子
02:46 就是x一放到后面
02:48 前面是不是应该是二倍的x一加上三倍的x2
02:53 同学们应该是没有问题的
02:55 后面两项我们是不是也可以提个公因子
02:58 公因子是x2 是吧
03:00 那么前面的这个音c应该是三倍的
03:03 x一减去x2 就好了嘛
03:05 是不是啊
03:07 各位同学
03:07 我如果把它看成一个常数
03:11 比方说ab也就是a倍的x一加上b倍的x2
03:16 可不可以写成a b
03:18 一个行向量乘一个列向量x1 x2 呢
03:22 这一个行向量乘一个列向量
03:24 是不是等于这样一个a b x一加b x2
03:29 你同意吗
03:30 所以这样的话他就应该等于什么
03:32 是不是应该等于二倍的x一加上三倍x逗号
03:37 注意逗号三倍x一减去x2
03:41 乘以一个什么乘以一个列向量x1 x2
03:44 是不是啊
03:45 一个行向量乘一个列向量
03:46 就是啊这样这样一个表达式好
03:50 我们继续往后走
03:51 好这样一个表达式和这个表达式
03:54 我们又可以继续变形了
03:56 它就可以变成它可不可以诶
03:58 这也是一个表达式
03:59 这个表达式也可以写成一个什么呢
04:01 写成一个含向量
04:02 x1 x2 乘以一个列向量二和三吗
04:06 逗号那么三倍的x一减去x2
04:11 可不可以写成行向量x1 x2
04:15 一个行向量乘一个列向量
04:17 数值型的数字型的是多少
04:19 数字型的是不是三-1呢
04:22 好再乘以列向量x1 x2
04:25 这个没问题吧
04:26 同学们
04:28 你看发现你这样
04:30 那这样两项他都有个公因子
04:32 x1 x o x x o这样的行
04:34 含这个一个一个含向量
04:36 把这个行向量提出来
04:37 是不是x1 xx剩下什么两个列
04:41 你看这两列构成一个矩阵233 -1
04:46 再乘以x1 x2
04:49 各位同学
04:50 你会发现
04:50 这个表达式是不是
04:51 恰好是上面我们说的一个行向量乘以a矩阵
04:56 再乘以列向量对吧
04:58 所以我们就讲一个二次型啊
05:00 一个二次型
05:01 它真的可以用未知数的含向量乘以矩阵a
05:05 再乘以未知数的列向量是可以成立的
05:08 好同学们
05:10 我将此处的未知数向量诶
05:13 这个列向量定为x
05:15 那行向量就是x的转置了
05:17 所以此时他就应该等于x次方乘以a乘以x
05:23 其中a应该等于这样一个对称矩阵
05:26 主对角元素是平方项的系数
05:30 那其他元素第一行的第二列的元素
05:33 是不是应该是六的一半
05:35 交叉项系数的一半
05:37 六的一半是三
05:38 第二行第一列的元素呢也是交叉项诶
05:41 六倍的x1 x2 的183吗
05:45 是不是好
05:46 这是这个题比较简单
05:48 我们再看第二个小题
05:50 第二小题呢你看它就比较复杂一些
05:53 它是一个三元二次性
05:54 三个变量的二次型
05:56 那它的a该怎么写呢
05:57 它是不是应该等于未知数的含向量
06:00 乘以一个矩阵a再乘以一个未知数的列向量
06:03 那么这个矩阵的a怎么办呢
06:06 开始用我们刚才的三要素吗
06:09 是不是
06:09 首先你必须要满足这个矩阵
06:11 那它必须是对称矩阵
06:13 同时它的主对角元素必须是平方项系数
06:17 你看一下这个这个a注意这它是不是主对角线
06:23 系数是不是一三-1
06:25 你看一三-1
06:27 它的系数是平方项的系数好
06:31 再看第一行
06:33 第二列的元素呢
06:35 为什么是一一呢
06:36 同学们看好啊
06:38 这个地方为什么是一
06:39 就是因为x1 x2 这个交叉项啊
06:42 它的系数是二
06:44 系数是二
06:45 是不是分成一半
06:46 它的一半是不是一样
06:48 为什么
06:49 其实二倍的x1 x2
06:51 他就应该等于x1 x2 x2 x1
06:55 这样两项相加
06:56 所以这个系数是一
06:58 这个系数是一样
06:59 你看第一行第二列的系数是一
07:03 第二行第一列的系数也是一
07:06 所以相对称的这个地方必须也是一啊
07:09 是不是好
07:11 我们再看第一行第三列的元素
07:15 这个元素为什么也是一呢
07:18 就是因为这个地方有一个几倍
07:20 你看二倍的x1 x3
07:23 二倍的x1 x3
07:25 实际上可以写成x1 x3
07:27 加上x3 乘以x一吗
07:29 所以第一行第三列的元素它的系数是一样是吧
07:34 第三行第一列的它的系数也是一吗
07:38 交叉项的系数是不是
07:40 那都是一样
07:42 实际上呃是呃交叉线分成了两部分啊
07:46 两部分之和好
07:48 我们继续往后走
07:49 再看第二行的
07:51 第三列的元素为什么是负的3/2
07:53 你看本身是x2 x3
07:56 它的系数是-3吗
07:57 它的一半不是-3/2吗
08:00 为了保证它的对称性
08:01 这个元素实际也是应该是负的3/2的
08:05 我们把这个矩阵记为a不就好了吗
08:08 进而它就应该等于x方ax
08:11 其中a矩阵就是中间这个矩阵吗
08:14 这非常好写啊
08:15 你抓住这样三个要素啊
08:17 三要素二次型的矩阵就没有没有问题
08:21 好我们再来一道例题
08:22 已知一个三元二次型
08:25 那有平方向有交叉相
08:28 它的秩为二
08:30 要求其中的一个参数c啊
08:32 这也是比较常见的题型
08:34 一般来说考客观题啊
08:37 选择或者填空
08:38 那么我们讲二次型的秩是什么意思呢
08:41 二次型f的字其实就是相应矩阵a的秩
08:45 所以像这种题
08:46 首先要写出它的矩阵a
08:48 首先我们说主对角元素
08:51 是不是应该是平方项系数55c呀
08:54 主对角元素先写出来
08:55 看到没有交叉
08:57 相信它的系数要除以二的了啊
08:59 x1 x2 的系数是-2-2的一半
09:02 那不是-1吗
09:03 为了保证对称性
09:05 这个理解方也写成-1对称的
09:07 那第一行
09:08 第三列的元素是不是应该是x1 x3 的系数
09:12 六分成一半一半的人是不是三
09:16 这个地方是不是也是三
09:17 因为也必须要保持对称嘛
09:19 好第二行第三加的元素是不是其实就是-6
09:24 分成一半的
09:25 -6的一半是-3
09:26 为了保证对称性
09:27 这个地方也是-3
09:29 好a出来了
09:30 同学们a出来以后
09:31 那么我们说已知f的秩等于二
09:34 那马上可以推出a的值92
09:37 而求一个矩阵a的秩
09:39 这个我们在上几章啊
09:40 讲过是不是要把a矩阵化行阶梯型
09:43 此时我们的a是这样的
09:45 我们只需要把第二行的五倍加到第一行啊
09:49 第二行的三倍加到第三行
09:52 同时把第一行换到第几行
09:54 把第二行换到第一行就可以了
09:57 同学们很好换的
09:58 这个我们就不细细的做了啊
10:00 因为前前面这个我们画过很多好
10:04 这个时候我们继续
10:05 那第二行可不可以同时除以12
10:07 同时除以12以后就可以变成二-1吗
10:10 第二行
10:11 然后再把第二行的负几倍-6倍外加一加
10:15 加到第三行
10:16 这个地方的12就变成零了
10:18 相应的这个c减九也会变的
10:20 是不是啊
10:21 就会变成c减三好不好
10:24 但是我们需要知道这个矩阵a的秩等于二呀
10:28 和矩阵a的秩要等于二
10:30 所以你的阶梯形有几行
10:32 必须要保证两行才可以
10:34 那么这个多余的这个元素必须等于几
10:35 必须等于零元素才行
10:37 c等于三吗
10:39 同学们
10:40 你们听明白了吗
10:41 好这是第一种题型
二次型的标准形 10:43
10:43 我们再看第二种题型啊
10:45 化二次型为标准型
10:46 就这个二次型你会发现它既有平方向
10:49 又有交叉项
10:50 我们可不可以做一个变化啊
10:52 做一个换元法
10:53 把它换成只有平方项的二次型
10:56 只有平方项的二次型叫标准型
10:59 只有平方相等
10:59 二次型角标准型
11:01 这个要要要知道啊
11:02 一般来说那包括期末考试考研
11:06 它都是考两种方法
11:08 一个方法叫配方法
11:09 一个方法叫正交变换法
11:11 两个方法啊
11:12 其实还有一个方法叫初等变换法
11:14 但是那个是数学
11:15 数学专业的同学需要掌握
11:17 一般的同学不需要掌握
11:19 此时我来先给同学教一教配方法
11:22 如何把这个二次型变成只含有平方项的二次型
11:26 也就是标准型的这个配方法
11:29 为了为了学这个配方法
11:30 我们先来想一想这个完全平方公式啊
11:33 完全平方公式啊
11:35 本身a方加二ab
11:37 如何将这两项构造成一个完全平方
11:40 显然我们加一个b的平方
11:42 再减一个b的平方
11:43 前面三项可以构造一个完全平方吗
11:46 是不是a加b的平方
11:47 还再减去个b的平方
11:49 这两个都是平方向好
11:51 如果变懒一点
11:52 把这个二倍的a b搞成ab
11:55 那没有二倍
11:56 没有二怎么办
11:57 没有二
11:58 我们在这个地方诶
11:59 这个可以在这个地方乘一个二
12:02 这个地方再除一个二不就好了吗
12:04 是不是恒等变形
12:05 那么这个地方的二分之b
12:07 这个地方的二分之b是不是相当于这里的b啊
12:10 你懂我意思吧
12:11 哎所以我们就应该怎样
12:13 为了配完全平方啊
12:15 为了配完全平方
12:16 这个地方是二分之b
12:17 我是不是加一个二分之b的平方
12:19 再减一个二分之b的平方是恒等变形的
12:21 我们这样做的目的是什么
12:23 目的是
12:24 前面三项可不可以构造一个完全平方公式
12:27 不应该是这个应该是a加什么
12:30 a加二分之b括号的平方吗
12:33 你听懂了吗
12:34 这样就可以构造成一个完全平方
12:37 那只含有平方向
12:38 本身有交叉项是吧
12:39 本身有交叉项
12:40 你要记住这个第二种情况啊
12:43 这个第二种情况可以推广一下
12:45 同学们注意啊
12:46 比方说我说a方加上a乘以一个框框
12:51 请问你如何把它配方成一个完全平方
12:55 和你就加一项再减一项
12:58 怎么怎么做呢
12:59 你可不可以这样a方
13:01 你这个地方添一个二倍
13:02 这个地方给一个1/2就行了嘛
13:04 是不是1/2就行了
13:06 所以这个地方是加上2a乘以二分之框框
13:10 为了横的面积为我为了这个配完全平方
13:14 我们这个地方是不是要把二分之框框
13:16 要构成一个完全平方啊
13:18 对不对
13:18 是不是应该再加上一个什么
13:20 加上一个二分之框框
13:21 整体的平方
13:22 再减去二分之框框的平方
13:25 恒等变形
13:25 加一下再减一下
13:27 但是在前三项是不是相当于是a加上b的平方
13:31 b是谁
13:32 b是二分之框框的平方了
13:35 再减去二分之框框的平方
13:38 你听懂了吗
13:39 这样前三项可以构造一个完全平方
13:42 而这个框框可以写任意的表达式
13:44 它可以写x一加x2
13:47 这可以写c加d哟
13:50 对不对
13:51 这个框框可以代表着一个整体
13:53 一个整体表达式啊
13:55 听明白了没有
13:56 那作为本题用配方法的时候
14:00 注意第一步要先配所有含有x一的项
14:05 我们知道这个二次型啊应该本身有六项吗
14:08 我把x一的项
14:10 你看x一的项一共有三项
14:12 写到前面写到一起
14:14 其余的向往后面移啊
14:15 然后这三项目可不可以提一个公因子二提出来
14:19 二提出来中括号
14:21 ok不好
14:22 后面照抄没有问题
14:24 那么请问这三项我如何配成一个完全平方呢
14:28 你先配所有含有x一的项目啊
14:32 这个地方你你这样一看
14:33 做做三项的这一个完全平方的时候不是很好做
14:37 这个时候我们做这样一个变化
14:39 可以将x一提出来
14:41 各位同学提出来
14:43 他就变成x一的平方
14:44 加上x一乘以x2
14:47 加上x3
14:48 各位同学是不是等于中
14:49 这个中括号里面是不是等于这一个
14:51 这个是不是相当于什么
14:53 相当于这个地方的壁啊
14:54 框框吗
14:55 刚才我们说框框是不是这个地方给一个二
14:58 这个地方给个1/2不就行了吗
15:00 好屁股
15:01 后面再加一个什么啊
15:02 加一个整体1/2 x2
15:05 加上x3 的平方
15:06 那么你加了一下
15:08 后面是不是马上要减去一下1/2 x2
15:10 加上x3 的平方
15:12 各位同学
15:12 这样前三项是不是可以构造一个完全平方
15:15 所以我们关键是要怎样
15:17 关键是要将这样三项当中的前后两项
15:20 x1 x一提出来
15:22 对不对
15:23 提出来以后变成这样的两项
15:25 两项后面加一下
15:27 再减一下
15:28 它就可以构造完全平方公式了
15:30 你听明白了吗
15:31 好具体过程我给大家来展示一下好不好
15:35 你看诶我这两项啊
15:37 就是提出一个x一对
15:40 提出x一再乘以x2 加x
15:42 把x2 加x3 看成一个框框了
15:45 对不对
15:46 就这个样子对
15:47 这个是不是相当于这里的b是不是前面给个二
15:50 这个给个1/2嘛
15:51 那这里是不是要加一个什么
15:53 加一个1/2 x2 加x3
15:56 这个整体整体的平方是吧
15:59 加一下加一下
16:00 后面要恒等变形
16:01 是不是后面马上要减一个才可以
16:03 他要减去1/2 x2
16:05 加上x3 的平方是啊
16:09 但是前面你会发现前面有个二倍的系数
16:12 你看简单的扎在这里
16:13 在这里减一个二倍乘以这一项
16:16 是不是哎我把这些剪的这一项啊放到外面了
16:20 放到中国话的外面
16:21 你听明白了吗
16:23 同学们应该是没有问题好吧
16:24 加一项减一项啊
16:26 加一项减一项恒等变形
16:28 注意前面有系数二诶
16:31 这样的目的
16:31 这样三项是不是个完全平方是吧
16:34 那这三项的完全平方是谁
16:36 是不是应该是x一加上二分之x2 加x3
16:39 整体的平方的
16:41 后面这样四项啊
16:43 可以把这个完全平方展开
16:44 展开以后啊
16:45 和后面的像啊结合起来
16:47 结合起来可以变成这样三项好
16:50 你会会发现后面的这样三项里面是没有x一的
16:54 好
16:55 这是第一步
16:56 把所有含有x一的下进行配方
17:00 我们再进行第二步
17:01 第二步
17:02 第二步再派再配所有含有x2 的形啊
17:06 这个第一项就不用管了哦
17:07 已经在完全平板里面了
17:09 那所有含有x2 的项
17:11 这里有一个平方项
17:12 这里x2 里面有一个交叉相
17:15 是这两项我们要进行一个配方
17:19 这是不是好嘞
17:21 各位同学哇
17:23 哦这两项结合一下
17:24 提出一个3/2
17:25 提出一个3/2就生成了
17:27 剩下的是x2 的平方
17:29 减去二倍x2 x3
17:30 诶
17:31 这个3/2倍的x3 的平方是照抄的啊
17:34 照抄的这个不用管
17:35 我们先准备配x2 吗
17:37 那这个时候我们应该怎么做
17:39 在这个后面
17:40 你觉得我应该加一个减一个什么呢
17:42 是不是应该加一个x3 的平方诶
17:45 诶这样两项需要一个什么
17:48 需要一个x3 的平方
17:49 你加了一个x33 的平方
17:51 是不是马上要减减去x3 的平方
17:53 但是前面有个系数
17:55 所以实际上减的是谁
17:56 减的是3/2倍的x3 的平方了
18:00 看明白有此时的这样三项
18:03 它就可以构造完全平方
18:05 它就应该等于多少x2 减去x3 括号的平方
18:10 当然前面有个系数3/2
18:12 是不是那-3/2倍x3 的平方
18:15 和正的3/2倍x3 的平方
18:17 是不是抵消了抵消了零贝x3 的平方
18:21 就最终我们可以得到这样三相是二倍的
18:25 中括号的平方
18:25 加上3/2倍的x2 减x3 的平方
18:28 加上零倍的x3 的平方
18:30 好这是第二步就完成了
18:32 同学们好
18:34 我们再看第三步
18:36 直到我们把所有的项都包含在完全平方向当中
18:41 的时候
18:41 就可以停止了
18:43 接下来我们就要进行换元
18:45 换元就是变换的意思
18:47 令这一项啊
18:49 令这个平方向下面的这个因子啊
18:52 令它为y一嗯
18:54 第二项里面的这个底数啊
18:56 x2 减x3
18:57 零乘y20 倍的x3 的平方
19:00 这个底数是x3
19:01 我们就令y3 等于x3 啊
19:03 同学们
19:05 于是这样的二次型
19:06 它就会变成什么二倍的y一的平方吗
19:09 加上3/2倍的y2 的平方
19:11 加上a0 倍的y3 的平方
19:14 是不是那三相的平方
19:15 你看f就会变成二倍的y一的平方
19:18 3/2倍的y2 的平方
19:20 零倍的y3 的平方
19:22 这就是标准型的
19:23 只含有平方向的二次型叫标准型
19:26 当然这个可以不要哦
19:28 这个可以不要零倍的嘛
19:30 零乘以任何表达式得零吗
19:33 最后一项可以不要好
19:35 这是利用配方法
19:37 但有的题呢他专门指定要求要正正交变换法
19:42 化f为标准性
19:44 所以必须要用这个呃
19:46 正正交变换法拉化为标准型
19:48 你必须要学会哦
19:50 好这个正交变换法和我们上一节课当中
19:53 这个对称矩阵化成对角矩阵的方法
19:57 几乎是相同的
19:58 同学们这个正交变换法啊
20:00 哎我把它总结一下
20:02 二次分成这样六步
20:04 第一步写出这个二次型的矩阵
20:07 那我们很会写的是一个对称矩阵
20:10 是不是
20:11 然后呢求出这个矩阵的特征值
20:14 这是我们上节课的内容
20:16 而如何求特征值
20:17 如何求特征向量
20:18 第三步求特征向量啊
20:21 第四步就是把这个特征向量当中
20:23 而不正交的向量用斯密特进行正交化
20:27 斯密特正教上节课讲过
20:29 如果没上节课没有听的同学
20:32 在这个地方你可以回到回到上一节课
20:35 再先听一下上节课的内容
20:37 再来如何进行私密特征
20:39 教你就学会了
20:40 好吧好了诶
20:42 当所有的特征向量正交以后
20:44 那么第五步就是把所有的特征向量进行单位化
20:49 克塞一克塞尔克塞三诶
20:52 这个时候的特征向量是单位向量
20:54 并且是正交的是两两正交的特征向量
20:57 这个时候我们把cos 1 cos 2
20:59 cos 3合并成一个三阶矩阵k哟
21:02 这个ku就是正交矩阵的
21:05 如果我们做一个换元变换
21:07 就是换元的意思
21:08 令x等于k u y k u是正交矩阵啊
21:11 那这个时候二次型f
21:13 二次型f就会变成一个标准型
21:16 并且它的标准型的系数
21:18 并且它的标准型的系数都是特征值
21:20 你看特征值看是吧
21:23 特征值构成
21:24 所以要求一个二次型的标准型
21:28 只需要会求特征值就可以了
21:31 但是中间的过程必须要进行求特征向量
21:36 还需要施密特单位化
21:38 这样是吧
21:39 也就是必须要得到这个ko矩阵才可以
21:42 好不好
21:42 这个过程呢
21:44 和我们上一节课讲对称矩阵的对角化问题
21:48 最后一个例题是几乎是一模一样的
21:51 好吧
21:52 那作为本题
21:53 我们来看第一步写出矩阵a那这个很好写
21:59 平方项的系数作为主对角线的元素啊
22:03 其他元素是不是交叉相当于要分一半啊
22:06 哎第一行的第二列的元素的系数二的一半是几
22:10 二的一半不就是这个地方的一吗
22:12 第一行第三列的元素
22:14 第三列的元素是不是应该是x1 x3 的系数
22:18 x1 x3 的系数
22:19 是不是这个二要分成一半啊
22:21 一为了保证对称性
22:23 你必须要对称矩阵啊
22:24 这个地方都是一以主对角线为对称轴
22:28 上下对称嘛
22:29 好不好
22:30 好
22:30 我们再看这个地方为什么是-1呢
22:33 第二行第三列
22:35 第二行
22:35 第三列的这个地方的-1怎么来的
22:37 其实就是哎交叉项当中
22:40 交叉项当中x2 x3 的系数
22:43 x2 x3 的系数的一半
22:46 -2的一半是-1呀
22:47 为了保证对称性
22:48 这个地方必须也是-1嘛
22:51 你听明白了吗
22:52 很好写的是吧
22:53 很好写的好
22:55 矩阵写完了以后呢
22:56 接下来第二步干什么
22:58 第二步要求a的特征值
23:01 求特征值
23:02 咱们很会求的
23:03 是不是用特征方程要求特征值
23:05 有特征方程
23:06 那么一减a等于零就可以求出来
23:09 当然有的老师或者有的书上用a减那么一哎
23:12 这也叫特征方程
23:14 它们两个是等价的
23:15 听到没有
23:15 这两个各种书上啊
23:17 它讲的是呃不太一样啊
23:20 但是他们两个是等价的
23:22 这两个方法都一样
23:23 但是一般来说统计版的那本教材啊
23:26 都是用拉姆达e减a来做的好不好
23:28 包括考研一般的书上
23:30 他都是用210-1来做的
23:32 当然你用a减210也是ok的啊
23:34 是效果是一样的好了
23:37 那么一减a也就是两个矩阵相减
23:41 再求行列式吗
23:42 啊具体的过程我们在呃不详细的跟你们说了啊
23:45 那么一减a就是这样一个哈三阶行列式是吧
23:49 哎钥匙的这个三阶行列式等于零
23:52 那这个三阶行列式我们说过了
23:53 你不要用主对角线法
23:55 主对角线唉
23:58 主对角线减去副对角线
24:01 对不对
24:03 这个方法比较笨
24:04 这个上节课我们讲过嗯
24:06 一定是要用呃这个化简的方法啊
24:10 就是消费拉姆达元素
24:12 此处我们要把这个地方的一加到第一行
24:16 这个地方的-1把
24:18 这个-1交通零是不是并且有公因子的
24:22 实际上就是把第三行的元素加到第一行
24:26 那么这个地方的-1就会变成零的
24:28 相应的这个地方的-1的
24:30 这个地方的-1就会变成拉姆达减三
24:33 这个地方到那么达减二就会变成南达减三吗
24:35 这个时候你会发现这两项是完全相同的
24:38 有公因子啊
24:39 那这个时候我们做什么变化
24:41 做列变化
24:42 只需要将a第一列的-1倍加到第三列
24:49 就可以把这个地方的拉姆达减三消成零嘛
24:52 对不对
24:53 哎
24:53 做一个列变化
24:54 进而再按照第一把这个地方变成零
24:57 这个地方一本身是零嘛
24:58 那就再按照第一行展开就可以了
25:01 好不好
25:02 具体的过程呢
25:03 同学们呃自己下来做一做好不好
25:05 自己下来做一做
25:06 它就可以变成这样的
25:08 因式
25:09 分解为兰姆达减三的平方乘以拿马达等于零
25:12 是不是
25:13 因为这个特征方程
25:14 要这个这个行业是要等于零的
25:16 就是所以它有几个特征值啊
25:19 三个特征值是吧
25:20 三元二次型你求出来一定是有三个特征值的
25:25 其中兰姆达一等于拉姆达2=3
25:28 它是一个二重根嗯
25:30 嗯兰达3=0啊
25:33 有一个单特征根对吧
25:36 有一个二重根
25:36 有一个单特征根好了
25:38 第二步完成特征根求出来了
25:41 也就是特征值求出来了
25:43 下面一步是不是要求特征向量了
25:46 第三步求特征向量
25:48 那求特征向量是不是要分开求
25:51 当嗯特征值是三的时候
25:54 我们要求嗯特征向量
25:56 特征向量怎么办
25:57 特征向量实际上就是当南方等于三的时候
26:01 实际上就是三一减a乘以x等于零
26:05 这个齐次方程的基础解析
26:07 齐次方程的基础解析就是那么大
26:10 等于三所对应的特征向量
26:13 要求这个齐次方程组的基础解析
26:15 是不是要对它的系数矩阵三一减a做行变换
26:19 化成最简形
26:20 化成行最简形了
26:22 只能做行变换
26:22 听到没有好不好
26:24 这个具体的过程应该是在上上章
26:27 也是第第四章
26:29 第四章我们详细讲过如何求基础解析
26:33 我们讲的特别的细哦
26:35 同学们可以回过头来再看一看好不好
26:37 上一节我们做行变换以后
26:39 画成这样的一个最简型
26:42 这个对线你会发现它的非零函数有一行
26:45 所以它的秩为一字为一呢
26:47 那自由变量就有两个了
26:49 三减这个字吗
26:51 3-1等于两个
26:53 所以它有两个自由变量
26:54 自由变量怎么取
26:55 记不记得是不是非拐弯处所对应的圆
26:59 非拐弯出所对应的这个变量x2 x3 吗
27:04 那也就是说cos一等于什么
27:06 cos一等于cos 2等于什么
27:08 基础解析有两个向量构成的
27:10 因为有两个自由变量
27:11 两个自由变量就有两个
27:13 这个解向量作为基础解析啊
27:17 x2 x3 的位置留下作为自由变量
27:20 x2 x3 的位置留下作为自由变量
27:22 分别取为自由变量
27:23 取值1001
27:26 是不是
27:27 那么还有第一个分量怎么举
27:29 是不是应该取此处的-1的相反数一
27:34 那第二个向量当中的这个第一个元素怎么取
27:36 是不是应该是取-1的相反数一类好
27:40 这个技术解析的观察法
27:42 得到技术解析的方法
27:43 我们在第四章当中讲讲的非常的详细好不好
27:47 进而我们就可以得到这个基础解析
27:50 也就是特征向量好两个特征向量
27:54 因为它是二重根嘛
27:56 二重根对应的特征向量在二次型这一章啊
28:00 在第六章当中
28:01 二重跟所对应的特征向量一定是两个
28:05 还有一个是单特征根
28:07 兰姆达3=0的
28:09 那么3=0
28:10 它的特征向量是不是有零
28:11 一减a乘以x等于零的基础解系数构成
28:14 也就是要对系数矩阵零一减a做行变换
28:17 把它化成最简形的好
28:20 这个具体的过程呢我们就不画了
28:22 你自己下来在草稿纸上画一画好不好
28:24 你以解a就是负a负a最后做行变换以后
28:28 可以画成这样的最简型吧
28:30 好好它的质为极
28:32 它的自为二
28:34 所以记住解析有几单
28:36 有几个项量
28:36 还有一个3-2吗
28:38 等于一个
28:39 那这个地方的cos怎么取的好注意
28:42 非拐弯处是第三列
28:43 第三列所对应的自变量是x3 嘛
28:47 所以x3 的位置要写成自由变量的取值
28:51 一个自由变量取成一吗
28:54 那还有两个分量怎么取
28:56 是不是应该是取非拐弯处的
28:58 这个一和-1的相反数
29:00 应该是-1
29:01 一就好了啊
29:03 这是基础解析的取法啊
29:05 好这样我们的这个特征向量就出来了
29:09 阿尔法三就出来了
29:10 好我们会发现一个问题呃
29:12 第三步完成
29:13 第四步是把这三个特征向量当中
29:16 不正交的向量给它私密特征交换
29:19 你会发现一重特征根
29:22 重特征根所对应的这个特征向量
29:26 它也往往不是正交的
29:28 往往不是正交的
29:29 所谓正交就是阿尔法一与阿尔法二的内积
29:33 必须等于零才叫正交
29:35 如果不等于零
29:35 那就不正交吗
29:37 我们看一下阿尔法一
29:38 阿尔法二的内积等不等于零的嗯
29:40 内积怎么等于多少
29:42 内积是等于阿尔法一的转置乘以阿尔法啊
29:45 这个内积的两种呃等价方式啊
29:49 呃所以那么阿尔法一
29:52 阿尔法二的内积
29:53 其实就等于阿尔法一的转置乘以阿尔法二嘛
29:57 转这就是110变成行向量乘以101啊
30:01 各位同学
30:01 你会发现是不是第一行乘以n
30:05 这个离列一行乘以列是1+0+0
30:10 结果等于几啊
30:11 结果等于b一吗
30:12 它不等于零
30:13 不等于零
30:14 说明什么问题
30:14 说明阿尔法一和阿尔法二是不是正交的
30:17 必须要累积等于零啊
30:19 他才是正交的是吧
30:20 好我们需要把阿尔法一阿尔法二给它正交化
30:23 有同学就问了
30:25 那阿尔法一和阿尔法三怎么正交呢
30:27 你注意啊
30:28 在本章在第六章当中
30:30 二次型当中
30:31 你所得到的不同特征值所对应的特征向量
30:35 不同特征值对应特征向量
30:37 阿尔法一和阿法上必然是正交的
30:39 你都不用检查
30:41 但是为了排除大家的这个心中的疑问
30:43 那我们来验证一下阿尔法一和阿尔法三的内积
30:48 就是不同特征值所对应的特征向量
30:51 是否是正交的
30:52 也就是阿尔法一的转置乘以阿尔法三
30:55 你会发现那110再乘以什么-111
31:01 各位同学
31:02 你看这两个向量相乘是不一乘
31:04 -1等于-1
31:06 加上1x1得一
31:08 加上00x1得零啊
31:11 结果等于-1
31:12 加一是不是等于零的
31:14 所以阿尔法一和阿尔法三一定是正交的
31:17 因为它的内积等于零
31:18 同理阿尔法二和阿尔法三也是内积的
31:21 不幸你下来自己求一下好不好
31:24 同学们好
31:25 所以下面我们一步
31:26 只需要加阿尔法二和阿尔法一
31:29 给他施密特正交化是吧
31:31 斯密特正交化好
31:33 正交化过程我给大家展示一下啊
31:35 第四步把阿尔法一阿尔法给它正交化好吧
31:39 正交化怎么这句话令贝塔一等于阿尔法一
31:43 也就是110吧
31:45 阿尔法一贝塔二等于什么呢
31:47 贝塔二等于阿尔法二的基础上要减一个贝塔一
31:51 贝塔一分之阿尔法二
31:54 贝塔一再乘以贝塔一这样一个向量
31:57 你减各位同学
32:00 这是我们在讲上一章啊
32:02 上一章我们也讲过是吧
32:04 把对称矩阵对角化的过程当中
32:07 讲过斯密特正交化好吗
32:09 好这个地方我们要注意到把阿尔法二代进去啊
32:13 对不对
32:13 阿尔法2=101贝塔一
32:16 贝塔一的内积是等于二的哈
32:18 那阿尔法二乘以贝塔一的内积是等于一的
32:21 那贝塔一是z贝塔一就等于阿尔法一照抄吗
32:24 110这个向量是不是
32:27 那其中阿尔法二贝塔一等于多少
32:29 为什么等于一
32:30 你看一下阿尔法二贝塔一嘛
32:33 是不是实际上就是因为贝塔一等于什么
32:35 贝塔一不就等于阿尔法一
32:38 另外这个地方是贝塔一等于阿尔法一
32:40 是不是要把阿尔法二的转置乘以阿尔法一
32:44 贝塔一就是阿尔法一的意思是吧
32:46 诶阿尔法二是谁
32:48 阿尔法一是一阿尔法二是101
32:51 变成了含向量再乘以阿尔法一
32:54 阿尔法一是110
32:56 是不是110了
32:59 那你乘嘛啊
33:01 对应分量相乘再相加呀
33:03 一行乘以一点是不是等于一
33:06 所以这个分子是一啊
33:08 同理分母啊
33:09 你自己乘吧
33:10 阿尔法一和阿尔法一的内积恰好等于二
33:13 好吧
33:13 加等于二
33:14 他自己下来求一下
33:15 好不好
33:16 好
33:16 接下来我们贝塔这两个向量相减
33:18 注意这个1/2要乘进来的啊
33:20 乘进来好
33:22 1-1/2
33:24 1-1x1/2
33:27 那是不是第一个分量是1/2呢
33:30 1-1/21/2是吧
1/2呃
33:32 好第二个分量我们看第二个分量是零
33:35 减去1/2乘一
33:36 那是不是应该是-1/2了
33:39 第三个分量是1-0=1呀
33:42 所以贝塔一贝塔二就有了
33:45 是不是
33:45 并且我们会发现贝塔一
33:47 此时的贝塔一和贝塔二一定是什么
33:50 一定是两两正交的
33:52 各位同学本身不正交
33:53 现在正交了
33:54 你怎么你怎么来检验它是否正交
33:56 就是贝塔一和贝塔二的内积要等于零呢
33:59 贝塔一
34:00 贝塔二的内积
34:01 是不是应该等于贝塔一的转置乘以
34:03 贝塔二是不是应该等于一一
34:07 零乘以咱们的1/2-二分之一一
34:11 你看嘛是对应分量
34:13 1x1/234:15 一乘以-1/2的-1/2
34:18 0x1得零
34:20 你想加恰好也等于零了
34:22 所以贝塔一贝塔的内积等于零
34:24 所以你用施密特得到的
34:26 得到的向量一定是两两正交的好
34:30 第四步完成了
34:31 第四步完成
34:32 我们下面需要进行第五步
34:34 把以上所有的特征向量单位化
34:37 把贝塔一贝塔二以及阿尔法三
34:41 阿尔法三不需要正交化啊
34:43 阿尔法三本身就和阿尔法阿尔法二是正交的
34:46 所以它不需要正交化
34:48 只需要把阿尔法一阿尔法二增加增加为贝塔一
34:51 贝塔二
34:51 所以我们只需要将上面的贝塔一
34:54 贝塔二以及阿尔法三单位化
34:56 那么这么单位化偏将贝塔一单位化
35:01 贝塔一是这个这个向量怎么单位化了
35:03 对link 31等于贝塔一除以它的模模
35:06 就是长度的意思啊
35:08 哎贝塔一的模等于多少
35:10 贝塔一的模其实就应该等于它的分量
35:13 它是不是有三个分量
35:14 你看一下a3 个分量
35:16 三个分量的平方和一的平方加一的平方
35:19 加零的平方是不是等于根号二啊
35:22 你看看这个地方的分母是不是根号二模嘛
35:25 二根号1/2乘以贝塔一
35:28 贝塔一就是110嘛
35:29 这很好
35:30 单位化的
35:31 各位同学好不好
35:33 那再加贝塔二
35:35 贝塔二就是这个向量也可以单位化
35:37 再加阿尔法三也可以单位化
35:39 我们展示一下
35:40 那么你将贝塔二和阿尔法三
35:43 是不是也可以单位化啊
35:46 贝塔二除以它的模变成了单位向量
35:49 那阿尔法三除以它的模也会变成单位向量
35:53 好这个同学们在自己自己在草稿纸上完成
35:56 接下来我们就要把这三个向量cos 1 cos 2 cos 3
35:59 给他写到一个矩阵里面
36:01 那么你会发现cos 1 cos 2 cos 3
36:04 每列也是单位向量
36:05 并且每两列之间是两两正交的
36:08 各位同学每两个向量拿出来
36:11 它的内积等于零
36:12 这个时候这样的可以被称为什么镇
36:14 被称为正交矩阵了
36:16 各位正交矩阵也就是所谓的正交变换哦
36:21 如果我立x这个变量也就是x1 x2 x3
36:29 等于k u乘以y y就是一个向量
36:31 y1 y2 y3 嘛
36:33 如果做这样的变化
36:35 把x换元成y x换成y x换成y的话
36:40 那么这样的二次型就会变成只含有y
36:45 也就是只含有平方项的二次型
36:48 它就会变成那么了一倍的y一的平方
36:51 那么2y的平方
36:52 那么的3y3 的平方只含有平方向
36:56 并且系数都是什么
36:57 系数都是它的特征值是吧
37:00 这不是两个三一个零嘛
37:02 两个三一个零嘛
37:04 这个零零倍的y3 的平方可以不要哦
37:06 但是同学们会发现一个问题
37:09 好像你用正交变换得到的二次型
37:12 和我们刚刚用这个配方法得到的二次型
37:16 好像系数不一样
37:17 各位同学你可以自己往前面翻一翻啊
37:21 这个系数啊它它是不一样的
37:23 我我我们一起往前面翻一下也可以啊
37:26 你看你看这个系数是不是等于系数
37:30 是二倍和3/2倍和两倍
37:33 不是三三倍
37:35 y一的平方
37:36 三倍y2 的平方加零倍的y x的平方
37:38 你看到了没有
37:39 系数不一样
37:41 难道此处有一种方法做的是不对的吗
37:46 为什么不同的方法得到的结果不一样呢
37:49 好这个地方留一个悬念
37:51 你们自己下来查一查数
37:53 用配方法和正交变换法
37:56 得到的标准性可不可以不一样
37:59 方法不同得到的标准型可不可以不一样呢
38:03 同学们自己查一查书好不好好
38:05 这是第二类题型的
38:08 我们再看第三类题型
正定二次型、正定矩阵 38:09
38:10 正定二次型和正定矩阵
38:12 已知这个二字形为正定二次型
38:15 求a所应该满足的条件
38:17 为了做好这一道题
38:19 同样还有两点分析
38:20 要知道二次型f正d
38:24 二次型f正定
38:25 也就是说f所对应的矩阵a是正定的
38:28 注意啊
38:29 它的判定方法有主要有两条啊
38:32 同学们作为你的一个小小的期末考试
38:34 主要是两条
38:36 第一个是方法一
38:38 就是这个矩阵a呀
38:39 要认定它的特征值要求要求全大于零
38:43 有时候会有个概念叫的二次型的正惯性指数
38:47 正惯性指数必须等于未知数个数
38:50 比方说这个地方的二次型有多少个
38:52 未知数有三个
38:53 所以这个地方哎正惯性指数就等于三
38:56 什么叫正惯性指数
38:57 正惯性指数我提提一嘴啊
38:59 就是这个正惯性指数指的是标准型当中
39:04 这一个正平方向的个数嗯
39:07 标准性
39:08 比方说我们刚才说f等于多少
39:10 三倍的y一的平方
39:11 加上三倍的y2 的平方
39:13 加上零倍的y3 的平方
39:14 请问这里正平方向有几个
39:16 正平方向有两个
39:18 所以它的正惯性指数p9 等于二
39:21 是不是诶是这么来的哦
39:24 是这么来的
39:24 正惯性指数指的是标准型当中
39:27 正平方向的个数不是非负哦
39:30 是正平方向
39:31 好不好
39:32 记住啊
39:34 好这是第一条需要注意的
39:36 第二条方法分他玩的更简单
39:40 就是a矩阵呢
39:41 它的各界顺序阻止四必须全大于零
39:45 什么叫各阶顺序主子式
39:47 以a等于这样一个矩阵为例
39:50 a b c d e f g h i为例
39:55 请问它的各阶顺序主子式指的是什么
39:58 比方说一阶顺序主子式
40:00 一阶顺序主子式指的是第一行
40:03 第一列构成的一个行列式
40:06 也就是等于a嘛
40:07 那么二阶顺序主子式呢
40:10 二阶顺序主子式德塔二应该等于第一行
40:14 第二列的四个元素
40:16 前两个元素构成一个二阶行列式a b d e
40:22 那么请问三阶顺序主子式
40:25 德尔塔三又等于什么呢
40:26 就是前三行三列的九个元素
40:29 求前三行三列的九个元素
40:32 就是a行列式嘛
40:34 是不是
40:34 这就是所谓的各界顺序组织四
40:38 如果各界顺序趋势都大于零
40:41 那么这个a矩阵就是镇定的
40:43 进而对应的二次型就是正定的
40:47 同学们要记住好不好
40:49 具体到本题呢
40:50 我们来看一下这个题怎么做
40:52 首先第一步要写出这个二次型的矩阵呢
40:56 这很好写啊
40:57 哎主对角元素是不是平方项系数
40:59 交叉项只有c交叉项只有x2 x3 系数是-2
41:03 -二分成分成一半不是-1吗
41:06 所以第二行第三列的元素是-1啊
41:09 对称矩阵哦
41:10 所以这个地方是-1
41:11 其他元素都是零哦
41:12 那因为没有交叉项x1 x3 嘛
41:15 这个地方实际上是加上零倍的x1 x3
41:18 加上零倍的x1 x2 嘛
41:22 是不是x1 x2 的系数是零啊
41:24 x1 x3 的系数也是零啊
41:26 所以这个地方分别都是0000哦
41:28 是不是没有这样的交叉项系数都是零
41:32 零的一半还是零吗
41:33 好有提议说他正定正定就是说明a矩阵正定
41:38 那它的一阶顺序主子式是多少
41:40 一阶顺序主子式是不是第一行第一列嗯
41:44 等于一二阶顺序主子式的
41:47 二阶顺序
41:48 主子式是不是前两行两列的四个元素构成的
41:52 二阶行列式的是不是等于a加一呀
41:55 好了
41:56 三阶顺序主子式是不是前三行三列
41:59 前三行三列
42:00 德尔塔三
42:01 那这个按照第一的第一行展开呀
42:04 等于哎这个二阶二阶行列式是吧
42:07 等于这个一乘以这个二阶行列式是不等于哎呀
42:11 有提议他是镇定的
42:13 镇定的
42:13 是不是要求这三个都要求怎样
42:15 是不是要求这三个顺序主子式都要大于零
42:19 一本身是大于零的
42:20 现在只需要要求a加一大于零
42:23 a也大于零
42:24 马上可以推出谁诶
42:26 这a大于-1
42:27 这个解出来a大于-1吗
42:29 a大于-1
42:30 a大于零
42:30 大大取大除以a满足的条件是a大于零即可
42:37 最终条件是a大于零
42:39 好同学们
42:41 那么这一章我们就是这样