《线性代数》4 小时速成课（不挂科）矩阵的特征值与特征向量字幕总结

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原字幕笔记：矩阵的特征值与特征向量
本节主题：数字型矩阵的特征值与特征向量、抽象型矩阵的特征值、相似对角化与正交对角化。

一句话总结

本讲围绕特征值与特征向量展开：数字型矩阵先由特征方程 $|\lambda E-A|=0$ 求特征值，再由齐次方程 $({\lambda }_{0}E-A)x=0$ 求特征向量；抽象型题目利用「矩阵多项式把 $A$ 换成 $\lambda$」快速求特征值；相似对角化则把特征向量排成可逆矩阵 $P$，使 $P^{-1}AP$ 变成特征值组成的对角矩阵。

章节脉络

1. 数字型矩阵的特征值、特征向量：用特征方程求 $\lambda$，用基础解系求特征向量。
2. 抽象型矩阵的特征值、特征向量：利用特征值性质、矩阵多项式、逆矩阵、伴随矩阵和相似矩阵快速判断。
3. 矩阵的相似对角化：普通矩阵求可逆矩阵 $P$，对称矩阵求正交矩阵 $Q$。

1. 数字型矩阵的特征值与特征向量

1.1 特征值的求法

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，要求特征值时，先写特征方程：

$$|\lambda E-A|=0$$

其中：

• $E$ 是单位矩阵；
• $\lambda E$ 表示 $\lambda$ 乘单位矩阵；
• $\lambda E-A$ 的主对角线元素通常是 $\lambda -a_{ii}$，非主对角元素是 $-a_{ij}$。

解这个关于 $\lambda$ 的方程，就得到矩阵 $A$ 的特征值。

计算建议

三阶及以上特征行列式不要机械套对角线法则。优先通过行列变换制造 0 和公因式，再展开计算。

1.2 特征向量的求法

对每一个特征值 ${\lambda }_0$，解齐次线性方程组：

$$({\lambda }_{0}E-A)x=0$$

该齐次方程组的基础解系，就是 ${\lambda }_0$ 对应的特征向量组。

若基础解系为 $\xi$，则所有对应特征向量为：

$$k\xi ,k\ne 0$$

特征向量不能是零向量

因此写成 $k\xi$ 时，必须说明 $k\ne 0$。

1.3 求特征向量的具体流程

1. 把特征值 ${\lambda }_0$ 代入 $\lambda E-A$；
2. 得到系数矩阵 ${\lambda }_{0}E-A$；
3. 对该矩阵做行初等变换，化为行最简形；
4. 找自由变量；
5. 用基础解系观察法写出特征向量；
6. 最后乘以非零常数 $k$。

1.4 课程例题结构

课程中的三阶数字矩阵通过特征方程得到 3 个特征值：

$$\lambda =-1,\lambda =9,\lambda =0$$

然后分别求：

$$(-E-A)x=0$$ $$(9E-A)x=0$$ $$(0E-A)x=0$$

对每个齐次方程组化行最简形，得到对应基础解系，再写成非零常数倍的形式。

2. 抽象型矩阵的特征值与特征向量

2.1 抽象型题目的特点

抽象型题目通常不直接给出矩阵元素，而是给出：

• $A$ 是几阶矩阵；
• $A$ 的特征值或特征向量；
• 要求 $A$ 的多项式、逆矩阵、伴随矩阵或相似矩阵的特征值。

这类题不需要把矩阵具体写出来，关键是用特征值性质。

2.2 特征值的基本性质

若 $A$ 是三阶矩阵，特征值为：

$${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$$

则：

$$|A|={\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3$$ $$\mathrm{tr}(A)={\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3$$

其中 $\mathrm{tr}(A)$ 是矩阵的迹，即主对角线元素之和。

2.3 特征值与特征向量的定义

若：

$$A\alpha =\lambda \alpha ,\alpha \ne 0$$

则：

• $\lambda$ 是 $A$ 的特征值；
• $\alpha$ 是对应于 $\lambda$ 的特征向量。

2.4 矩阵多项式的特征值

如果 $A\alpha =\lambda \alpha$，则：

$$A^2\alpha ={\lambda }^2\alpha$$

更一般地，若：

$$B=f(A)$$

则 $B$ 对应的特征值为：

$$f(\lambda )$$

特征向量仍然是同一个 $\alpha$。

例如：

$$B=A^3+5A-6E$$

则 $B$ 的对应特征值为：

$${\lambda }^3+5\lambda -6$$

抽象题核心

看到 $f(A)$，就把 $A$ 换成 $\lambda$，把 $E$ 换成 1。

2.5 逆矩阵、伴随矩阵、转置矩阵

若 $A\alpha =\lambda \alpha$，且 $A$ 可逆，则：

$$A^{-1}\alpha =\frac{1}{\lambda }\alpha$$

即 $A^{-1}$ 的对应特征值是：

$$\frac{1}{\lambda }$$

若 $A$ 可逆，伴随矩阵满足：

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}$$

因此 $A^{\ast }$ 的对应特征值为：

$$\frac{|A|}{\lambda }$$

对于转置矩阵：

$$A^T$$

它与 $A$ 的特征值相同，但特征向量不能直接照搬，通常不能仅凭 $A$ 的特征向量确定。

2.6 相似矩阵的特征值

如果：

$$B=P^{-1}AP$$

则 $A$ 与 $B$ 相似，二者有相同的特征值。

若 $A\alpha =\lambda \alpha$，则 $B$ 对应的特征向量可由 $P^{-1}\alpha$ 得到。

2.7 抽象例题思路

课程例题中，已知 $A$ 的特征值，要求 $B=f(A)$ 的特征值和 $|B|$：

1. 把每个 $A$ 的特征值 ${\lambda }_i$ 代入 $f(\lambda )$；
2. 得到 $B$ 的所有特征值；
3. 用「行列式等于特征值之积」求：

$$|B|=\prod _{i}f({\lambda }_i)$$

课程例题中最终通过特征值相乘得到 $|B|=-288$。

3. 矩阵的相似对角化

3.1 什么是相似对角化

若存在可逆矩阵 $P$，使得：

$$P^{-1}AP=D$$

其中 $D$ 是对角矩阵，则称 $A$ 可以相似对角化。

对角矩阵 $D$ 的对角元素由 $A$ 的特征值组成。

3.2 普通矩阵相似对角化步骤

1. 求特征值：解 $|\lambda E-A|=0$；
2. 求特征向量：对每个 ${\lambda }_i$ 解 $({\lambda }_{i}E-A)x=0$；
3. 取一组线性无关的特征向量：

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$$

4. 令：

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$$

5. 得到：

$$P^{-1}AP=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$$

3.3 特征值与特征向量必须一一对应

构造 $P$ 和 $D$ 时，列向量顺序与对角元素顺序必须一致。

如果：

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$$

且 ${\alpha }_i$ 对应 ${\lambda }_i$，则：

$$D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$$

如果交换 $P$ 的列，也必须同步交换 $D$ 中对应的特征值。

高频易错点

不能只交换对角矩阵中特征值的顺序，而不交换 $P$ 的列；也不能只交换 $P$ 的列，而不交换 $D$ 的对角元素。

3.4 对角化是否可行

$n$ 阶矩阵能相似对角化的关键是：能否找到 $n$ 个线性无关的特征向量。

若能找到，则 $P$ 可逆，对角化成立；若不能，则无法用这种方式对角化。

4. 对称矩阵的正交对角化

4.1 对称矩阵与正交矩阵

若：

$$A^T=A$$

则 $A$ 是对称矩阵。

对称矩阵可以正交对角化：存在正交矩阵 $Q$，使得：

$$Q^{-1}AQ=D$$

由于正交矩阵满足：

$$Q^{-1}=Q^T$$

所以也常写作：

$$Q^{T}AQ=D$$

4.2 正交矩阵的特点

矩阵 $Q$ 是正交矩阵，等价于它的列向量满足：

• 每一列都是单位向量；
• 不同列之间两两正交。

向量正交指内积为 0：

$${\alpha }^T\beta =0$$

单位向量指模长为 1：

$$\Vert \alpha \Vert =1$$

4.3 对称矩阵正交对角化步骤

1. 求特征值；
2. 求各特征值对应的特征向量；
3. 检查同一特征值对应的多个特征向量是否正交；
4. 若不正交，使用施密特正交化；
5. 对所有正交向量单位化；
6. 把单位化后的向量按列组成正交矩阵 $Q$；
7. 得到：

$$Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=D$$

其中 $D$ 的对角元素是对应特征值。

4.4 施密特正交化

若 ${\alpha }_1$、${\alpha }_2$ 不正交，可令：

$${\beta }_1={\alpha }_1$$ $${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1$$

则 ${\beta }_1$ 与 ${\beta }_2$ 正交。

课程思路

先把不正交的特征向量变成正交向量，再单位化。正交化只改变同一特征值对应特征子空间中的基，不改变其作为特征向量的本质。

4.5 单位化

对非零向量 $\beta$，单位化为：

$$\xi =\frac{\beta }{\Vert \beta \Vert }$$

其中：

$$\Vert \beta \Vert =\sqrt{{\beta }_1^2+{\beta }_2^2+\cdots +{\beta }_n^2}$$

单位化后得到的 $\xi$ 满足：

$$\Vert \xi \Vert =1$$

4.6 课程对称矩阵例题结构

课程例题中，对称矩阵特征值为：

$$18,18,9$$

其中 $18$ 是重特征值，对应两个特征向量。课程检查发现其中两个向量不正交，于是：

1. 对不正交的向量做施密特正交化；
2. 再把得到的正交向量单位化；
3. 加上另一个已经正交的特征向量；
4. 组成正交矩阵 $Q$；
5. 得到：

$$Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\mathrm{diag}(18,18,9)$$

5. 做题流程整理

5.1 数字型特征值 / 特征向量

1. 写出 $\lambda E-A$；
2. 求特征方程 $|\lambda E-A|=0$；
3. 因式分解得到全部特征值；
4. 对每个特征值代入 $({\lambda }_{i}E-A)x=0$；
5. 化行最简形；
6. 写出基础解系；
7. 特征向量写成非零常数倍。

5.2 抽象型特征值

1. 明确已知 $A$ 的特征值；
2. 若是 $f(A)$，把 $A$ 换成 $\lambda$；
3. 若是 $A^{-1}$，特征值取倒数；
4. 若是 $A^{\ast }$，特征值为 $|A|/\lambda$；
5. 若是相似矩阵，特征值不变；
6. 行列式可由特征值之积求出。

5.3 相似对角化

1. 求特征值；
2. 求对应特征向量；
3. 判断是否有足够多的线性无关特征向量；
4. 用特征向量作列构造 $P$；
5. 对角矩阵按相同顺序放置特征值；
6. 写出 $P^{-1}AP=D$。

5.4 对称矩阵正交对角化

1. 求特征值和特征向量；
2. 对不正交的特征向量做施密特正交化；
3. 对所有向量单位化；
4. 组成正交矩阵 $Q$；
5. 写出 $Q^{T}AQ=D$。

6. 易错点汇总

• 特征方程是 $|\lambda E-A|=0$，不要把 $\lambda E$ 写成普通数减矩阵。
• 特征向量来自 $({\lambda }_{0}E-A)x=0$ 的基础解系。
• 特征向量不能取零向量，参数必须非零。
• 求 $f(A)$ 的特征值时，把 $A$ 换成 $\lambda$，把 $E$ 换成 1。
• $A^T$ 与 $A$ 特征值相同，但特征向量不一定相同。
• 构造 $P$ 时，特征向量列和对角矩阵中的特征值必须一一对应。
• 对称矩阵正交对角化时，不能只找可逆矩阵，还要找正交矩阵。
• 单位化不能改变方向，只是除以向量模长。

7. 重点公式速查

特征方程

$$|\lambda E-A|=0$$

特征向量

$$({\lambda }_{0}E-A)x=0$$

定义

$$A\alpha =\lambda \alpha ,\alpha \ne 0$$

行列式与迹

$$|A|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$$ $$\mathrm{tr}(A)={\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n$$

多项式矩阵

$$A\alpha =\lambda \alpha \Rightarrow f(A)\alpha =f(\lambda )\alpha$$

逆矩阵与伴随矩阵

$$A^{-1}\alpha =\frac{1}{\lambda }\alpha$$ $$A^{\ast }\alpha =\frac{|A|}{\lambda }\alpha$$

相似对角化

$$P^{-1}AP=D$$ $$D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$$

正交对角化

$$Q^{-1}=Q^T$$ $$Q^{T}AQ=D$$

施密特正交化

$${\beta }_1={\alpha }_1$$ $${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1$$