简介
应广大同学们的要求，老师又新上传了《高等数学（上）》、《高等数学（下）》、《概率论与数理统计》的速成课，快去看看吧。另外，如果可以的话，请同学们多多分享！ 配套电子讲义、章节练习题：在置顶评论区有获取方法
章节
00:00数字型矩阵的特征值、特征向量的求15:25抽象型矩阵的特征值、特征向量的求22:15矩阵的相似对角化
字幕
数字型矩阵的特征值、特征向量的求 00:00
00:00 好同学们大家好
00:02 我们接下来讲第五章矩阵的特征值和特征向量
00:11 还是这三种题型啊
00:14 第一种题型呢就是数字型矩阵
00:17 它的特征值和特征向量的求法
00:20 以一个三阶矩阵为例
00:22 a是一个三阶矩阵
00:24 要求它的特征值和特征向量怎么求呢
00:26 好然然呢
00:27 我们做一个小小的分析
00:29 有以下几个知识点需要准备好
00:32 首先我们讲求a的特征值的方法
00:35 一般是由特征方程的
00:37 这表示的是特征方程可以解特征值
00:41 拉姆达拉姆达一减a的行列式等于零
00:44 可以得到一个那么大的求取值啊
00:47 那特征值出来以后呢
00:49 还要求特征向量
00:50 对于拉姆达林这个特征值而言
00:53 我如何求它的特征向量
00:55 需要解一个棋子
00:56 反正组
00:57 那么a01 减a作为系数矩阵
01:00 构造成的一个齐次方程组啊
01:02 它的基础解析就是拿马达零所对应的特征向量
01:08 好作为本题
01:09 我们来看看第一步如何求特征值呢
01:12 有特征方程拉姆的一减a等于零
01:15 我大概大概给同学们说一下啊
01:17 那么一减a德行列式
01:19 什么叫拉姆达一
01:21 那么a一就是拉姆达乘以一个单位向量
01:24 100010001减aa照抄就行了嘛
01:29 123
01:30 那照抄在这里啊
01:31 213336
01:34 这两个矩阵相减以后再做行列式
01:37 这个拉姆达是不是要乘进来
01:38 你看嗯
01:39 那所以两个矩阵相减是什么
01:41 是不是应该是n那么大减一嘛
01:44 那么的减那么的减一嘛
01:46 对角线上是那么的减一
01:48 对角线上这个地方也是拉姆达
01:50 拉姆达减掉其他元素
01:52 其他元素你看看都是那么大乘
01:55 以零还是00-2
01:57 那是-2啊
01:58 那么大乘零还是零零减这个地方的三
02:01 那还是-3
02:02 其他的都是用什么解除了对角元素
02:06 其他的都是00-2得-2
02:09 看0-3得-3
02:11 0-3得-3
02:12 0-3得-3
02:14 再求行列式
02:15 各位同学也就是求这个矩阵的行列式
02:18 求矩阵的行列式
02:20 矩阵符号就可以不要了
02:22 直接是这个行列式
02:24 也就是这样的一个行列式
02:25 那个这样一个行列式是不是这个行列式
02:29 这个那这样一个行列式它要等于零是吧
02:33 它要等于零
02:34 我们就可以把那么的给求出来吗
02:37 那这个行列式呢
02:38 有个别同学他会用比较笨的办法
02:43 就是用那个对角线法则啊
02:46 用对角线法则等于主对角线再减去副对角线嗯
02:51 这个方法就比较比较笨一些
02:54 比较笨一些
02:55 当然也是可以做的
02:56 同学们
02:57 你们是用什么方法
02:59 是不是用对角线法呢
03:00 啊此处我给你们教一个非常好的方法
03:03 就是要消这种非拿马大元素
03:06 什么叫非拉姆达元素
03:08 同学们看好
03:09 就是除了主对角元素都有拉姆达以外
03:12 其他的六个元素诶
03:14 是不是都是非拉姆的元素
03:16 我们要消费拉姆的元素
03:17 并且要有公因子啊
03:19 那这个地方我们消哪两个元素呢
03:22 可以得到公因子呢
03:23 嗯你会发现这个地方的-3的-1倍加到这里
03:28 是不是可以把这个-3小成零消费
03:31 拉姆达也是消的意思
03:32 就是消乘零的意思
03:34 那相同的道理
03:35 这个拉姆达减一的-1倍
03:37 也要加到这个地方的-2
03:39 这个地方的负呃
03:41 但-1倍也要加到这个点
03:42 反正拉满的减一嘛
03:43 也就是把第二行的-1倍加到第一行
03:47 那这个-3就会消成零了
03:49 好不好
03:50 同时你会发现一个问题啊
03:53 你这个地方的拉姆达加一和负拉姆达减一
03:56 是不是有公因子的六公因子
04:00 这个时候我们就可以继续做一个变化
04:02 将这个拉姆达加一的一倍加到第二列
04:07 是不是加到第二列
04:08 这个负拉姆达减一是不是可以消成零
04:10 同同理
04:12 这个-2的啊
04:13 这个一倍加到第二列
04:16 这个-3的一倍加到第二列
04:19 是不是就是第一列的元素
04:21 怎样第一列的元素加到第二列
04:25 第一列元素加到第二列就可以了
04:27 这样可以保证第一行啊
04:31 有两个零元素产生
04:32 那这个时候我们按照行列式的展开
04:35 按照第一行展开
04:36 是不是应该等于兰姆达加兰姆达
04:38 加一乘以它的代数余子式嘛
04:40 对不对
04:41 等于那么加一乘以这个二阶行列式好
04:45 这个二阶行列式可以用主对角线减去副对角线
04:49 那么这个用对角线法则可以做
04:52 最后我们化简以后可以变成这样的式子
04:56 等于拉姆达加一乘以拉姆达减九
04:59 再乘以一个拉姆达啊
05:01 因为它是一个方程
05:02 它是要等于零的嘛
05:04 啊这个三个因式相乘等于零
05:06 所以我们当然可以求出nma等于-1
05:10 那么2=9 number
05:12 3=0吗
05:13 得到三个特征值
05:15 特征值咱们就求出来了
05:18 注意这个方法好不好
05:20 哎
05:20 这个包括四阶五阶行列式
05:22 我们求特征值
05:24 它都是用这个方法更方便一些
05:26 不要用啊
05:27 不要轻易用这个对角线法则好不好
05:31 那紧接着下来我们要求特征向量
05:34 一个一个球啊
05:36 -1所对应的特征向量
05:37 九所对应的特征向量内所对应的特征向量
05:40 一个一个求好
05:43 我们看第一个
05:45 当纳木纳一等于-1的时候
05:47 如何求特征向量
05:49 就是由这个齐次方程组
05:50 你看的基础解析就可以得到特征向量
05:54 好我们把这个-1带进去
05:57 得到系数矩阵好不好
05:59 也就是-1减一
06:02 -1减a我们要求它的基础解析
06:05 是不是要对系数正
06:06 我们上一个上一章讲过
06:08 求解这个基础解析的时候怎么求啊
06:10 是不是要把系数矩阵化成一个呃
06:13 最简型化成行最简型的
06:15 对不对
06:16 用观察法就可以得到解除解析
06:19 对不对
06:19 那-1减a怎么求得好
06:21 我给大家算一下啊
06:22 -1减a-1减a就是负的
06:25 1000
06:26 10001减a减a就是把这个一减嘛
06:30 123213336这两个矩阵诶
06:36 一相减嘛
06:38 那这个-1不是乘进来的吗
06:40 -1-1乘到这个一乘
06:42 到这个一乘到这一对角线就是-1了吗
06:45 对角线全是-1
06:46 是不是那对角线-1减这个地方的一
06:49 那是几是-2对线的-1啊
06:52 这个地方的-1减去这个地方的一
06:54 那是不是-2
06:56 这个地方的-1减去这个地方的六
06:58 是不是应该是六
07:00 那-7其他的用什么剪
07:03 你想想看
07:04 其他的都是你约束是吧
07:07 其他都是零元是零元数减二
07:09 那不是-2
07:10 零元数解三解这里的负伤
07:13 那就是-3吗
07:14 所以其他的都是零点几
07:16 零点几
07:17 0.2
07:18 0.3
07:19 这个地方的0-30-3 -3
07:22 同学们好
07:24 所以我们就讲系数矩阵就变成这样的啊
07:26 变成这个式子是吧
07:28 也就是这个式子对不对
07:30 那接下来我们要把这个矩阵呢而变成行最简形
07:35 含
07:35 最典型就是要变成首先要变成一种阶梯型对吧
07:39 并且每个阶梯拐弯处最好变成单位向量
07:42 100010这样的单位向量就可以了
07:45 那你这个很好做呀
07:46 你第一行的几倍和第一行和第二行是不是成比
07:49 例
07:50 第一行的-1倍往下一级啊
07:52 就完了嘛
07:53 对不对
07:54 就完了
07:55 然后第一行的几倍
07:57 第一行的-3/2倍往第三行一加对吧
08:03 这样我们就可以化成阶梯形
08:05 进而变成最简形
08:06 同学们这个过程呢大家自己下来自己画一画啊
08:10 非常简单
08:11 可以变成这样的阶梯性
08:13 同时是最佳形容
08:14 为什么它是最简性
08:16 因为你会发现第一个台阶上有一个单位向量
08:18 第二个台阶上也有单位向量010是吧
08:22 第一个台阶算是100好
08:24 这叫最简析
08:26 我们会发现我要求求它的基础解析
08:28 也就是要求它的特征向量
08:30 求拉姆达等于-1
08:33 等于-1等于-1的特征向量
08:35 也就是求基础解析
08:37 基础解析肯定要得到质吗
08:39 显然它的秩等于几
08:40 它的秩等于二
08:42 这个阶梯性有两行吗
08:44 阶梯阶梯型非零行有两行
08:47 所以它的秩为二
08:48 字为二的话
08:49 基础解系有几个向量
08:50 它比三要小
08:51 三表示的是未知数个数
08:53 也就是系数矩阵的列数
08:55 是不是那3-3减这个字
08:59 那是不是等于一个向量
09:01 这一个向量怎么怎么找呢
09:03 我们上上一个
09:04 上一章我们讲过如何求基础解析
09:07 那这个向量怎么找
09:09 cos怎么求
09:11 首先要得到自由变量
09:13 对不对
09:14 自由变量的个数和技术解析数
09:15 和向量的个数是相等的啊
09:17 技术解析有一个向量
09:18 那么自由变量就有一个自由变量怎么找呢
09:22 我们当时走
09:23 但当时给你们讲过
09:24 自由变量一般是取于什么
09:27 是不是取这种和非拐弯处
09:29 你看非拐弯处所对应的列对应的未知数
09:34 那第二列第二列是啊过非拐弯处
09:37 所以我们把x2 的位置看成是自由变量
09:41 一个自由变量取成一嘛
09:43 自由变量的取值是一样好不好
09:45 那这个时候其他两个分量还有两个分量呢
09:48 因为有两有三个位置说还有两个分量怎么求
09:51 是不是应该取什么
09:52 应该取1010这两个元素的相反数
09:55 那不就是-10的相反数是零吗
09:58 这这这就是基础解析
10:01 也就是特征向量
10:03 是不是我的cos等于什么
10:05 cos等于-1110啊
10:08 同学们好嘞
10:11 所以我们讲
10:13 那么a一等于-1所对应的特征向量啊
10:16 就是哎这个基础解析乘以一个任意的常数
10:20 k好吧
10:22 这个k一可以取一
10:24 可以取二可以取消
10:25 但是取非零啊
10:26 这是一个非零的任意常数
10:29 听到没有
10:29 是个非零的任意常数
10:31 因为特征向量要求它是非零向量
10:35 好嘞
10:36 就是那么一等于-1时我们再看第二个拿不拿
10:42 2=90
10:43 兰达2=90
10:44 我们需要对这样一个哎
10:46 还是齐次方程组基础解析吗
10:48 那这个把兰姆达2=9带进去
10:51 得到系数矩阵
10:52 说得91-1
10:55 九一减a就是九倍的1000
10:57 10001-1 a吗
11:00 啊123啊
11:02 213336
11:05 九乘进来啊
11:06 九乘进来主要是乘这个对角元素
11:09 对角元素等于什么啊
11:10 9-1
11:11 那不是八吗
11:12 9-1组主对角元素9-1等
11:17 9-6
11:18 那得什么
11:19 是不是其他的用什么解其他的
11:21 这些元素其他的这些元素都用零减
11:24 它是零减
11:25 它贴相反数
11:26 负-3-2-3-3-3
11:30 这也就是说我们可以得到系数正
11:32 最后变成这个矩阵
11:33 也就是这个矩阵
11:34 你看看明明没有这样一个矩阵
11:36 我们化成什么形
11:38 画成这个行最简形
11:39 这个是-2的四倍
11:41 往上一加
11:43 对不对
11:44 -2的四倍往上一加
11:45 那这个地方就变成零了是吧
11:47 相应的这个-2也会变是吧
11:49 也会变
11:50 然后第二行和第一行交换位置
11:53 然后第第第这个-2的多少倍的-3/2倍
11:58 往下一加对吧
12:00 我们就可以变成阶梯形
12:02 阶梯形
12:02 然后再继续往后面画
12:04 就可以变成这样的最简形了
12:06 同学们考这个过程呢
12:08 同学们在草稿纸上自己完成行不行好了
12:11 显然这个系数矩阵的秩等于二呀
12:14 它有两个非零行
12:16 是不是
12:16 那未知数有几个呢
12:18 未知数有三个
12:19 因为它是3x3的
12:21 所以列数系数矩阵的列数表示未知数个数
12:25 基础解析有3-2吗
12:28 等于一个相量
12:29 自由变量就有一个自由变量的个数
12:33 等于奇数解析所含向量的个数吗
12:36 是不是
12:37 那这个和塞怎么取下来看
12:40 显然自由变量取证什么
12:42 我们刚才说是不是取非拐弯处
12:44 这是不是一个非拐弯处所对应的位置
12:47 说他是不是x3 的
12:49 同学们对应的是第三列吗
12:51 所以x3 这个地方啊作为自由变量把它框起来
12:55 自由变量一般取成什么e啊
12:58 一个自由必然取胜一哦
13:00 那其他的两个元素呢
13:02 这个两方两个元素怎么取
13:04 是不是应该是最后一列的
13:05 这两个元素就怎样
13:06 这两个元素要取相反数了
13:08 12/2分之一
13:11 那这是基础解析
13:12 基础解析
13:13 也就是特征向量是不是12/2分之一
13:17 于是我们可以得到嗯
13:19 那么2=9所对应的特征向量是1/2
13:23 1/2乘以任意的这个参数
13:26 这个参数注意它不能等于零啊
13:28 任意的参数特征向量啊
13:30 它是基础解析乘以一个系乘以一个系数
13:34 乘一个系数等等
13:35 好
13:35 这是兰姆达二等于几
13:37 同学们我们再求兰姆达3=0
13:42 那么3=0
13:43 我们还是有a8
13:45 那么3=0带进去
13:46 当然也可以得到一个系数句子也就是负a是吧
13:50 零一减a0 解a就是负a0 减a嘛
13:53 就是不解的
13:54 意思是不用用零解签一个添个负号
13:58 是不是就是这个a矩阵所有的元素填负荷
14:01 这个时候应该怎么化成最简形呢
14:03 这个-1的几倍
14:05 -1的-2倍往下一加嘛
14:07 但-1的-3倍往下一加
14:09 你自然就化成阶梯形
14:11 阶梯形再继续往后面做两次变化
14:14 它就可以变成这样的最简形了
14:17 它的阶梯性
14:19 你会发现那个字它的阶梯性是这样的
14:22 是不是n字字为二呀
14:24 又是比三小吗
14:26 同学们是比上学诶
14:28 所以基础它的基础解析应该有b格向量
14:31 和前面一样啊
14:32 就是一个自由变量呢
14:34 自由变量是不是也有一个去成谁举成非拐弯处
14:39 非拐弯处是第三列
14:41 这个地方非拐弯处
14:42 第三列取成一直由变量出现一好
14:46 另外两个另外两个元素呢
14:48 另外另外两个元素是不是也要去最后一点
14:50 一一的相反数-1-1就好了
14:54 同学们是不是这样的
14:56 它cos就出来了啊
14:58 -1-11相应的特征向量是多少
15:02 是不是应该乘一个k3 就好了
15:05 当然要求这个k3 怎么样
15:06 这个k3 是不能等于零的啊
15:08 因为特征向量要求特征向量有一个呃
15:11 天生的有一条性质
15:13 就是它不它不能等于零
15:15 它是非零向量
15:17 所以它的系数不能等于零
15:18 好不好
15:19 他这种数字型的矩阵
15:21 它的特征值特征向量的求法就是这样好
15:23 还有一种题型是抽象型的抽象型矩阵
抽象型矩阵的特征值、特征向量的求 15:25
15:28 它的特征值特征向量这么久
15:30 那什么叫抽象性
15:31 意思就是这个矩阵a啊
15:33 他不告诉你a等于多少啊
15:35 他只是说你是三阶矩阵3x3的
15:38 什么3x3的
15:39 他不告诉你是123还是多少多少啊
15:42 不告诉你元素
15:43 各位同学不告诉你
15:44 所以是抽象的
15:46 但是他直接点名说a的特征值知道
15:49 那么由a的特征值求一个多项式诶
15:53 求以这种呃矩阵的加加减减是吧
15:58 得到的这种复杂矩阵
16:00 它的特征特征值相当于是一种间接的
16:04 求另外一个复杂矩阵的特征值了
16:07 也是抽象的啊
16:09 没有办法把b求出来
16:11 是不是这题应该怎么做嗯
16:13 同样的我们还是要作为做做一个准备
16:16 要第一点关于a的若干性质啊
16:22 特征值的若干性质
16:23 第一条
16:24 如果a是一个三阶矩阵
16:26 三阶矩阵肯定有三个特征值
16:28 拉姆达一
16:28 拉姆达拉姆达三
16:30 一定有a的行列式等于什么啊
16:32 矩阵a的行列式一定等于特征值的乘积啊
16:35 好特征值之积哦
16:37 那还有一个a矩阵的g
16:40 a矩阵的迹等于特征值的和什么叫g呢
16:44 我我我举个例子啊
16:45 比方说123啊啊啊
16:48 40309好不好
16:52 各位同学
16:53 那么a的g是什么意思
16:56 a的g就是主对角元素求和等于一加
17:00 4+9表示的是a的g的意思
17:04 等于是四啊
17:07 这个ag真的g啊
17:08 这个g呀还等于特征值的和好吧
17:12 这个性质同学们也要记下来啊
17:14 要记下来
17:15 这是第一条性质
17:17 我们再来看第二条
17:19 若拉马达为a的特征值
17:22 阿尔法是对应与拉姆达的特征向量
17:25 那当然也可以推出
17:27 a阿尔法等于拿马达乘以阿尔法
17:29 阿尔法是非零的非零向量
17:32 我们把这个阿阿尔法称为什么
17:35 把这个阿尔法称为特征向量
17:37 这个数这个数拉马达成为什么
17:39 这个数称为特征值
17:40 是不是特征值
17:43 这是定义是吧
17:44 这是特征值与特征向量的定义好了
17:47 接下来我们要讲非常重要的
17:50 非常重要的一个表格
17:53 同学们啊
17:55 有这样一个表格
17:56 如果已知a矩阵的特征值是那么的
18:00 向量是阿尔法
18:02 那么相应的a平方
18:04 a平方的特征值直接是拿马达平方向量不变
18:10 那这个多项式a的三次方加上5a减六一
18:14 我随便写了一个多项式
18:16 那么你看相应的拿马达的三次方啊
18:20 五拿马达六一的特征值就是-6对应起来
18:25 那我问你a的四次方的特征值是拿不到四次方
18:28 a的五次方的特征值呢
18:29 拿不到的五次方听到没有
18:31 a的五次方加上4a的三次方呢
18:35 请问它的特征指数是多少
18:37 是不是兰姆达五次方加上四倍兰姆达的三次方
18:41 这是多项式矩阵
18:42 多项式矩阵的特征值其实就是把a换成什么
18:46 把a换成
18:47 那么他就可以了
18:48 好不好啊
18:49 这种啊非常好用啊
18:51 同学们好
18:52 除了这种多项式
18:53 还有一种是a的力是a的-1次幂
18:57 那特征值就是那么大分之一啊
19:00 那么大的-1次幂是不是相当于特征向量不变
19:04 这叫伴随
19:05 记不记得叫伴随矩阵是吧啊
19:09 a的特征值是拉姆达
19:10 那么伴随矩阵的特征值就是它的行列式
19:12 再除以拉姆达就行了
19:14 好不好
19:15 特征向量是阿尔法转置转置
19:20 a的转置特征值和a的特征值是完全相同的
19:24 但是它的向量注意这个用红色的圈起来啊
19:27 它是不确定的啊
19:30 最后一个啊
19:32 如果b矩阵是由啊
19:34 b这个抽象矩阵是由什么呢
19:35 由a矩阵嗯
19:37 左边乘以一个逆矩阵
19:39 右边乘以一个p矩阵是吧
19:42 这个地方叫相似啊
19:43 各位同学其实叫相似不相似
19:48 那么b和a是相似矩阵
19:50 相似矩阵特征值相同
19:52 b的特征值就是a的特征值
19:55 特征向量是用这个p-1再乘以a的特征向量
19:59 阿尔法就可以了啊
20:01 这个解释过程呢
20:03 你得要听这个详细的这个线性代数的精讲课程
20:08 啊
20:08 啊这个地方呢
20:09 因为我们主要是讲这个
20:10 怎么帮助同学们快速的来做题嘛
20:14 你这个怎么办
20:15 这个你得背下来好不好
20:16 这些你背下来做题就会非常的方便好吧
20:20 非常的方便好
20:21 这里有个小例子
20:22 如果a的特征值是三
20:24 那么a平方特征值呢
20:25 那拉姆达平方不是九吗
20:27 是不是
20:28 那请问a的-1次幂的特征值
20:31 那就是拿不拿分之一
20:32 那1/3嘛
20:34 那我再求你2a减二一多项式是吧
20:37 只需要把这个a换成什么
20:38 a换成蓝马达就可以了
20:40 兰姆达又等于什么
20:41 那么就等于三吗
20:42 所以最后就等于四啊
20:45 特征值是四这种呃
20:48 期末考试特别爱考是吧
20:50 好
20:50 那我们来做本题啊
20:52 这个题怎么做呢
20:53 看一下啊
20:54 这个题怎么做呢
20:56 说a的特征值有三个一-12
21:00 分别假设为兰姆达一拉姆达二
21:03 拉姆达三
21:03 那么b是一个a的多项式是吧
21:07 a的多项式
21:08 那它的特征值呢是不是把所有的a换成什么
21:11 所有的a换成蓝的就可以了
21:13 是不是平方立方不变啊
21:16 平方立方不变
21:17 那再分别把c带进去
21:18 把这个一带进去
21:20 一带进去
21:20 那是不是这个一带进去
21:22 一的三次方减去5x1吗
21:24 那不等于-10好
21:27 这是第一个
21:28 我们再求number 2等于-1的单曲
21:30 -1的三次方
21:31 那就是-1-1再减5x1
21:34 那不是-6吗
21:35 是不是好
21:37 第三个是不是把拉姆达等于二带进去
21:40 二的三次方是八嗯
21:42 带进去448-5x4
21:45 那不是-12吗
21:46 是不是
21:47 所以b的特征值是这样
21:49 三个第二问是要求b的行列式
21:51 各位同学刚才说了
21:53 行列式是不是等于特征值的乘积了
21:55 那b的行列式当然等于b的行列式
21:58 当然等于b b的特征值的乘积
22:00 也就是这三个特征值的相乘了
22:03 -4-6-12相乘等于负的288
22:08 同学们
22:08 这种偷抽象的特征值是不是特别要求好嘞
22:12 我们再看第三种题型
矩阵的相似对角化 22:15
22:15 这种题呢主要考大题了啊
22:18 矩阵的相似对角化啊
22:20 给我们解个给个例子啊
22:21 这是一个三阶矩阵
22:23 要你求一个可逆矩阵
22:25 p使得p-1 ap等于一个尖尖
22:29 尖尖的意思是什么是对角阵
22:31 什么叫对角阵呢
22:31 就是这种啊
22:33 123其他元素都是零啊
22:36 这对角元素为非零
22:38 其他元素都是零
22:39 它才叫什么对角矩阵
22:41 是不是啊
22:42 对角矩阵就是把a呀做一个变化
22:47 变成一个对角矩阵
22:49 我们把这样的矩阵被称为相似对角化
22:54 如果p可逆
22:57 使得p一的-1 ap啊
23:00 对a做变化啊
23:01 做做做行变换和列变化啊
23:04 得到一个对角矩阵
23:06 那么我们就称a可以相似对角化啊
23:10 相似对角化就是把a可以画成一个什么
23:13 把a可以画成一个对角矩阵
23:16 这就是相似对角化是相似对角化的意思
23:19 那这是第一条
23:20 我们要提前要讲到第二个
23:24 怎样把一个矩阵a给它对角化呢
23:27 有如下几个步骤啊
23:29 各位同学要看清楚
23:30 第一步先求a的特征值
23:33 这个很好求
23:34 有拉姆达一减a这个行列式等于零
23:37 就是特征方程嘛
23:38 特征值我们刚刚求过
23:41 还要求特征向量
23:43 是不是
23:44 那每一个特征值所对应的特征向量求出来解
23:47 也求基础解析吗
23:48 什么求完以后令这个p等于什么呢
23:52 令这个p等于阿尔法一阿尔法
23:54 阿尔法上也是特征特征向量构成p听到没有
23:58 这个p是由谁构成的啊
24:00 这个p这个p是由特征向量构成的
24:03 那么一定可以得到p的-1
24:06 ap一定等于这个对角矩阵
24:08 对角矩阵有啥构成啊
24:10 它就是由三个特征值所构成的
24:12 其他元素都是零哦
24:13 其他的元素都是零
24:14 看左下方和右上方都是零
24:18 它是一个对角矩阵嘛
24:20 对吧
24:20 这个过程啊就是考大题
24:23 一般是这样考啊
24:24 同学们好
24:25 具体呢我们来看
24:27 首先要求特征值有特征方程
24:31 那么一减a等于是吧
24:34 这个我们前面说过
24:35 就主对角线用什么减
24:36 主对角线用拉姆达减它吗
24:39 那么一减a我再说一遍吧
24:42 什么意思
24:42 其实就是两个矩阵那么大
24:44 100010001
24:47 再减去a a是一-112-2-11-1
24:54 是不是这两个数值相减就可以了
24:56 那这个拉姆达乘进来变成拿马达
24:58 拉姆达拉姆达吗
25:00 其他都是零啊
25:01 拿不到乘以一
25:02 一一才是拿不拿拿不拿拿不拿
25:04 是不是考这两个数值相减等于多少
25:07 你当然等于主对角线用什么减
25:09 主对角线用拿不来减
25:10 它是拿不拿减一难不得加二
25:13 那不得加一类
25:16 其他元素用什么解
25:17 其他元素是不是用零减
25:18 你看这个-1用什么减零减它那是一样
25:22 那这个e用什么减
25:23 是不是用零减它那-1吗
25:25 这个二用佛用零解
25:27 用零解啊
25:29 这个-1和一分别用零解
25:31 那不是一-1吗
25:32 行列式是吧
25:34 就这个矩阵的行列式也就是这样一个行列式啊
25:42 这样一个行列式
25:43 你看是不是这个行列式是不是
25:46 那这个行列式怎么算呢
25:48 还是一样
25:48 你不要用对角线法则
25:50 是不是你不要用对角线法则
25:52 我知道有同学会啊
25:54 他很熟悉
25:55 是不是
25:55 但是这个方法真的是有点笨
25:58 好不好
25:58 有点笨
25:59 你就是消费那么大元素
26:01 你消这样六个元素
26:03 消其中两个得到一个公因子是吧啊
26:06 有公因子就可以了
26:08 同学们在此处
26:09 我们一般需要哪两个元素可以消这两个元素
26:11 你看这两个人是不是很方便
26:15 这个-1的一倍就往上引起
26:16 也就是说我们把第三行嗯
26:19 把第三行直接加到第一行不就可以了
26:22 相应的这个一就会变成零
26:24 是不是嗯
26:25 当然这个拉姆达减一和-1相应的也要变换哦
26:29 是不是哦
26:30 哟各位同学有没有公因子
26:31 有没有公因子
26:33 拉姆达和拉姆达有没有公因子
26:34 恰好是有公因子的
26:35 只要有公因子
26:36 那么你这个时候消消费浪漫的元素就是成功的
26:40 如果没有公因子
26:41 你消那么大元素消的就是不是成功的
26:43 你就换两个元素继续消零
26:46 听到没有
26:47 这个时候我们只需要怎样
26:49 只需要把第一列的-1倍加到第三列
26:52 就可以把这个拉姆达削成零嘛
26:54 对不对
26:55 相应的这个二哎也要变化
26:57 这个拉姆达加一也要变化嘛
26:59 做列变化
26:59 行列式可以做列变化
27:01 当然也可以做行变化
27:03 是不是只是我们把c一的-1倍加到第三列
27:08 对不对
27:09 加第三列恰好变成一个什么
27:11 变成一个下三角
27:12 下三角行列式等于对角元素相乘的
27:15 是不是等于兰姆达平方乘以拉姆达加2=0
27:19 特征值是多少
27:21 当然是两个零啊
27:22 是同重音值啊
27:25 number一等于拿不到等于零
27:26 number 3等于-2呀
27:28 特征值有了
27:29 各位同学第一步搞定
27:31 第二步是求导人向量好了
27:33 第二步就是当拿马一等于拉姆达2=0
27:37 这是一个二重根啊
27:38 是个二重根
27:39 有零一减a
27:41 是不是要求这一个齐次方程组的基础解析
27:45 基础解析就是特征向量
27:46 那零一减a又是什么
27:48 零一减a就是负a
27:49 负a就是所有的元素增加所有的元素
27:51 这个地方的所有的元素
27:52 本身a的元素全部乘以-1就可以了
27:54 各位同学是不是得到这样一个负a
27:58 这个也是怎么办呢
27:59 怎么化成阶梯形
28:00 是不是-1的几倍
28:01 -1的二倍往下加
28:03 -1的-2倍往下加
28:04 可以把这个-2削成零
28:06 然后把-1的一倍往第三行一加
28:08 这个一就可以消成零
28:09 变成阶梯形啊啊然后阶梯形再往后面变变是吧
28:15 这个不用变啊
28:16 这你突然看这不是对应成比例
28:18 一比二
28:19 一比二
28:19 一比二
28:20 一比-1
28:20 一比-1
28:21 一比负
28:21 一直接后面写成零零哦
28:23 是不是哎直接一下就消掉了
28:25 所以它既是一步一步一步就可以搞成什么
28:29 一步就可以搞成阶梯型
28:31 也是最简形的好了
28:32 显然它的字为几诶
28:34 这个这个系数就是字为一
28:36 字为一
28:38 比未知数的个数三要小
28:40 所以基础解析有几个向量
28:42 基础解析也就是特征向量啊
28:44 技术解析就是特征向量是不是有两个向量
28:47 3-1
28:48 3-1等于两个向量
28:49 两个向量为什么是他呀
28:50 这个前面我们说过好多次了是吧
28:53 那阿尔法一怎么取得
28:55 首先要找自由变量
28:57 阿尔法二怎么取得
28:58 首先要找自由变量
28:59 自由变量取值什么
29:00 非拐弯处
29:01 非拐弯处是不是第二列和第三列
29:03 非拐弯处是第二列和第三列所对应的
29:05 这变量就是x2 和x3 为自由变量
29:08 分别取1001基础解析
29:11 是不是这样取的
29:12 自由变量取值1001吗
29:14 其他的元素呢
29:15 还有一个元素
29:16 是不是这个-1取成相反数
29:17 那一了这个一取成相反数
29:19 那不是-1吗
29:21 同学们特征向量就是基础解析
29:23 分别写成阿尔法一
29:25 阿尔法二好
29:26 这是nasa等于零的时候
29:29 两个特征向量我们再看nasa等于-2的时候
29:34 那么我们有-21减乘以x等于零
29:37 这个齐次方程组当然也可以得到它的呃
29:41 最简型是吧
29:42 它的最圆形这个同学们一样的做行变化啊
29:46 化成最简形好不好
29:47 反正角形这个队形嗯
29:51 第几列是只有变量
29:53 是不是第三列啊
29:55 非拐弯处作为第三列
29:56 所以自由变量去乘一嘛
29:58 还然后呃呃其他元素是不是一二取相反数
30:01 变成-1
30:02 -2是不是最特征向量也有了三格
30:07 第三步是什么
30:08 第三步是不是要得到一个三阶矩阵
30:11 就是把这三个向量合并一下
30:13 合并起来得到一个p矩阵
30:16 第三步是合并
30:17 把阿尔法阿尔法
30:19 阿尔法三合并起来
30:20 变成一个上三阶矩阵
30:22 阿尔法一带进去
30:24 阿尔法阿尔法三吗
30:25 是不是得到这样一个矩阵是可逆的
30:29 它就可以使得
30:30 而可以使得p的-1乘以a乘以p呀
30:34 得到一个间接矩阵
30:35 尖尖是对角
30:36 对角就是由三个特征值所构成
30:39 三个特征值是零零-2好不好
30:42 有同学说
30:42 那我可不可以交换一下
30:44 拉姆达一和拉姆达三的位置呢
30:46 我写成什么
30:47 有人说那个写成南达三
30:49 南马达二哪一行不行
30:51 也就是水成-200行不行啊
30:55 这个时候要注意哦
30:56 你最好不要乱改啊
30:58 因为你你注意一个问题
31:00 那么大一对应的是阿尔法一
31:04 那么意思零吗
31:05 零的特征向量是阿尔法意思
31:07 第一列是不是你不能乱画
31:12 你换了以后
31:13 换了以后你看拿不到三的特征向量
31:15 它不再是阿尔法一
31:16 你看懂我明白有看明白没有
31:18 那么的三个特征向量不再是这个地方的阿尔法
31:21 一不能乱换的啊
31:23 一一对应起来好嘞
31:25 这个要小心一点啊
31:27 这个问题咱们就解决了
31:29 还有一种问题
31:30 同学们什么问题
31:33 就是如果这个刚才这个矩阵
31:35 你看一下刚才这个矩阵呢
31:36 它不是对称矩阵
31:38 对称
31:39 你懂我意思没有
31:41 它不对称
31:42 如果把这个题换一下
31:44 换成另外一个矩阵
31:45 这个矩阵你会发现它关于主对角线是对称的
31:48 这种对称矩阵啊
31:52 对称矩阵也是考大题哦
31:54 他不是求可逆矩
31:55 而是要求不是求可逆矩
31:57 而是要求一个正交矩阵
31:58 使得正交矩阵的-1次幂乘以a成一颗肉蛋鱼
32:03 渐渐矩阵也是对角化哦
32:06 它不仅仅是求一个可逆矩阵
32:08 还是要而且是要求一个正交矩阵可以
32:11 这就更麻烦了
32:13 这个题好不好
32:15 我给同学们啊稍微分析一下
32:18 如果a是一个对称值
32:20 也是a转等于a就是对称的意思
32:23 那么一定存在一个正交正科o
32:25 使得qu的-1乘以a乘以k u
32:28 一定等于对角阵
32:29 什么叫正交正
32:31 正交正的特点就是正交正的特点是什么呢
32:35 就是它的转置等于它的-1次幂
32:38 可有的转置等于可有的-1次幂啊
32:41 正交正呢我随便写一个正交正吧
32:45 v n q啊
32:46 随便写一个好不好啊
32:47 1001
32:48 这就是一个正交正
32:49 你说的单位就是他也是一个正交正
32:52 是不是你看它的转置不还是等于可用是吧
32:58 哎就是一嘛就是一嘛
33:00 是不是我们知道e的-1=11的-1
33:03 等于什么
33:03 e的-1次幂是不是等于一单位正的-1次幂
33:07 就是一
33:08 是不是加号等于一
33:09 也是等于q ku的转置是等于ku的啊
33:13 正交正有一个有一个特点
33:15 就是它的每列为单位向量啊
33:20 每列为单位向量
33:21 并且每两列之间是正交的
33:23 什么叫正交
33:25 就是这个叫阿尔法一
33:26 这个叫阿尔法二
33:27 正交的意思就是阿尔法一的转置乘以阿尔法
33:29 也就是阿尔法一逗号阿尔法就是累积啊
33:33 这个叫内积好不好
33:34 这个内积要等于零的嗯
33:37 你比方说那此时阿尔法一的转置不就是一零吗
33:42 阿尔法二是多少
33:43 阿尔法二是零一吗
33:44 你告诉我是不是对应分量相乘1x0
33:47 加上0x1
33:48 1x0+0x1
33:51 结果等于零了
33:53 所以这个等于零
33:54 那就说明是正交的两个向量
33:57 我再举个例子好不好
33:58 同学们
33:59 我再举个例子
34:00 我再举个q等于嗯嗯根号1/2
34:06 根号1/2
34:07 这个是负根号1/2
34:10 根号1/2
34:12 首先我们发现它正不正交阿尔法一
34:15 阿尔法二
34:16 什么叫正交
34:16 就是要看它的内积
34:18 也就是阿尔法一的转置乘以阿尔法二
34:21 那阿尔法一是什么
34:22 就是这一点吗的转置
34:25 那就变成含了根号1/2
34:27 根号1/2乘以阿尔法二
34:29 阿尔法二就是第二列吗
34:31 负的根号1/2
34:33 根号1/2
34:34 各位同学看好除对应分量相乘
34:37 第一个分量相乘
34:38 那根号1/2乘以负根号
34:40 1/2是-1/2
34:41 再加上加上第二个分量相乘吗
34:45 嗯根号1/2乘以根号1/2是1/2
34:48 所以恰好等于什么
34:49 恰好等于零的
34:50 所以我们会发现这两个向量是正交的
34:52 因为它的内积等于零啊
34:54 正交的
34:55 并且不仅是正交的这两个向量
34:58 而且第一个向量它是不是单位向量
35:01 什么叫单位向量呢
35:02 除了这种特殊的单位向量1001以外
35:04 这种也叫单位向量
35:06 为什么
35:06 那你比方说阿尔法一四
35:08 根号1/2
35:09 根号1/2
35:10 它也就单位向量
35:11 为什么
35:11 因为它的平方和它两个分量的平方和等于一
35:15 也就是它的长度
35:17 一个向量的长度
35:19 是不是等于它的两个分量的平方和呢
35:22 那根号二的平方分之一
35:24 根号二的平方加根号1/2的平方
35:27 加上根号1/2的平方
35:29 是不是两个分量的平方和他恰好等于几
35:32 他好等于1/2+1/2=1u
35:34 所以这种长度这叫长度啊
35:36 向量的长度如果等于一的话
35:39 我们就把它阿尔法一称为单位向量
35:42 同理那么阿尔法二也是单位向量
35:44 因为它的长度或者叫它的膜膜
35:47 膜就是长度的意思
35:49 一个向量的模如果等于一
35:51 它就是单位向量
35:52 不仅是单位向量
35:53 而且这两个是内积等于零
35:56 也就是正交的
35:57 我们把qu称为
35:58 那么这称为正交矩阵
36:01 称为正交矩阵
36:03 他这个是关于正交矩阵的这个理解
36:06 好准备工作在第二条
36:09 如何把一个对称阵a啊
36:12 把它化成对角对对角矩阵的好
36:15 第一步啊
36:16 第一步还是要求特征值了
36:18 还是要求特征值
36:19 拉一拉姆达拉姆达三
36:21 有特征方程就可以搞定啊
36:23 第二个求特征向量啊
36:24 这个和我们前面的第一个
36:26 前面的第一个例题是一模一样的
36:28 好特征向量有了以后啊
36:30 注意现在不能直接令p等于什么啊
36:33 p等于p等于阿尔法一
36:35 阿尔法阿尔法三
36:35 把这三个特征向量给它合并起来
36:38 不不不
36:38 这个不行
36:39 还要做一个前前置的处理
36:41 因为特征向量你会发现有的特征向量啊
36:44 把阿尔法阿尔法
36:45 阿尔法三当做不正交而不正交的向量要正交化
36:50 就有有有时候他仅仅只是无关的
36:53 他不正交就是阿尔法一和阿尔法二的内积啊
36:56 也就是阿尔法一的转置
36:58 阿尔法一的转置乘以阿尔法二
36:59 如果不等于零怎么办
37:00 不等于零
37:01 我们需要用到一个方法把它正交化
37:04 比方说比方说阿尔法一
37:06 阿尔法二不正交
37:07 我们要用什么方法呢
37:08 哎另一个叫斯密特正交法
37:12 你们的书上都有的啊
37:13 你们的教材上都有的
37:14 斯密特正交就是零
37:16 贝塔1=0
37:17 贝塔一等于阿尔法一
37:19 贝塔二等于阿尔法二减去贝塔一
37:21 贝塔一的内积分支阿尔法二
37:24 贝塔一再乘以贝塔一的这样一个表达式
37:27 就可以得到贝塔一
37:28 贝塔二是正交的
37:29 本身不正交
37:30 做施密特正交这样一个换元法以后
37:33 它就可以变成贝塔一
37:35 贝塔二是正交的了
37:38 好不好
37:39 那这个过程看起来很麻烦
37:41 但是我跟你讲啊
37:42 有的时候你期末考试压轴题要考这个题的
37:45 有时候压轴题要考这个题的
37:47 待会我们会有我们把这个过程呢给你详细的写
37:50 其实很简单
37:51 好不好
37:52 看上去好麻烦啊
37:53 看上去很麻烦好
37:55 正交以后
37:56 第四步就是把以上所有的生成向量啊
37:59 都给他怎样单位化
38:01 单位化以后得到cos 1 cos 2 cos 3
38:03 这个时候我们就可以得到正交矩阵
38:06 可由把这个单位化以后的正交向量啊
38:09 特征向量把它合并起来
38:11 就可以得到一个正交正
38:12 它就是一个正交正
38:13 所求的正交正
38:14 一定可以得到qu的-1
38:16 a k u等于我的对角矩阵
38:18 对角矩阵由特征值所构成的是吧
38:22 特征制作过程好
38:23 作为本题我们看一下过程呢
38:25 第一步求什么
38:27 求特征值
38:31 也就是拉姆达1-1=0啊
38:33 同学们好
38:34 这个过程呢呃因为我们写了好多遍
38:37 好不好
38:37 这个地方呢我们就不不不一一给大家写了啊
38:41 那直接我们由这样一个三阶行列式
38:46 一样的道理是一样的道理
38:48 你只需要怎样
38:49 你只需要把这个二二的-1倍啊
38:53 第二行的-1倍加到第三行
38:55 这个地方就可以消成零嘛是吧
38:57 消成零
38:58 然后再得到公因子是吧
39:00 得到过年值啊
39:03 进而可以得到拉姆达减18的平方
39:05 乘以拉姆达减9=0
39:07 我们当然可以得到三个特征值啊
39:10 number一等于拿不到
39:11 等于18
39:12 那么3=9
39:13 好吧对九好
39:16 特征值有了第一步完成
39:17 那么第二步是不是求特征向量
39:19 特征向量就是要求基础解析了
39:22 同学们啊
39:23 求基础解析了
39:25 首先当拉姆一等于number
39:27 2=18的时候
39:29 当然有要有这个齐次方程组
39:31 18 1-1乘以x等于零
39:33 这是齐次方程组要得到它的基础解析
39:36 也就是特征向量
39:37 这个过程我再不写了
39:38 好不好
39:39 因为我们做了好几个了
39:41 好我们可以得到特征向量是这样两个啊
39:44 这两个好
39:47 那么这是18
39:48 还有一个兰姆达等于九啊
39:50 兰姆达3=9的时候有九一减a x等于零
39:53 这样一个齐次方程组
39:54 我们当然也可以得到技术解析
39:56 也就是特征向量阿尔法三是吧
39:59 观察就可以得到啊
40:00 但是要前提要把系数矩阵化成最简形
40:03 行最简型哦
40:04 必须是含着圆形啊
40:06 怎么做行变化得到了我们的阿尔法三
40:11 此时我们要进行第三步来
40:14 第三步是什么
40:14 把阿尔法一阿尔法
40:15 阿尔法三当中不正交的向量正交化
40:18 各位同学
40:19 你会检查一下
40:20 你会发现阿尔法一和阿尔法二不正交啊
40:23 什么叫正交
40:24 必须要求阿尔法一的转置乘以阿尔法二
40:26 必须等于零
40:27 也就是阿尔法一和阿尔法二的内积等于零吗
40:30 对应分量相乘啊
40:31 是不是-2乘-2等于几
40:34 4+1x0得零
40:37 加上0x1得零
40:39 所以它等于四
40:41 而不等于零
40:41 是不是不等于零
40:42 就不正交哦
40:43 不正交我们要用刚才的方法叫呃施密特正交法
40:47 把它化为正交向量好
40:51 另外我们还检查一下
40:52 阿尔法一和阿尔法三怎么正交
40:54 阿尔法一和阿尔法三怎么正交
40:56 来看一下阿尔法一的转置乘以阿尔法三
40:59 各位同学
41:00 阿尔法一的转置是-210嘛
41:04 是不是-2100再乘以十乘以阿尔法三
41:07 阿尔法32分之一一一
41:09 各位同学
41:10 你看一下是不是对应分量相乘吗
41:12 -2x1/2
41:14 那不是-1吗
41:15 那1x1是不是10x1
41:18 那不是零吗
41:19 恰好等于什么零
41:20 各位同学你会发现阿尔法一
41:22 阿尔法一和阿尔法三的内内积是等于零的
41:26 所以是正交的
41:27 同理阿尔法三和阿尔法二也是正交的啊
41:31 也是正交的
41:31 你不信你自己下来算一算啊
41:33 算一算他也是正交的
41:36 所以我们第三步需要把不正交的向量用实密特
41:40 正交法诶
41:41 不正交的阿尔法一阿尔法给他正交化就可以了
41:44 这么正交了
41:46 就是这个过程呢
41:47 在这里看这个过程就可以了
41:49 好不好
41:49 我们只需要令贝塔一等于什么
41:53 贝塔一等于阿尔法一
41:54 看贝塔一等于阿尔法一哎
41:56 照抄就行了
41:57 贝塔二怎么个贝塔二
41:59 贝塔二应该等于阿尔法二的基础上
42:01 阿尔法二的基础上再减去贝塔一
42:04 贝塔一的内积啊
42:07 分之阿尔法二乘以贝塔一的累积再得到
42:12 再再再乘以一个贝塔一就可以得到贝塔二啊
42:15 这个过程我给你们做一下啊
42:16 同学们
42:17 你们看好啊
42:18 这贝塔二怎么算呢
42:20 各位同学
42:20 我算一下啊
42:21 贝塔二等于阿尔法二减去贝塔一
42:24 贝塔一的内积分支
42:29 阿尔法二贝塔一再乘以贝塔一样
42:33 阿尔法二照抄是不是-201减去啊
42:38 贝塔一贝塔一的累积啊
42:39 贝塔一贝塔一就是贝塔一
42:41 贝塔一就是阿尔法一阿法一是不是阿尔法一
42:44 阿尔法一的内积等于多少
42:45 是不是哎等于多少
42:48 是不是一个呃
42:51 -210是不是和-210的内积吗
42:56 这两个向量内积怎么求
42:57 是不对应分量相乘再相加吗
43:00 这-2乘-2那不等于四吗
43:03 加上1x1等于几
43:06 10x0等于什么
43:08 等于零
43:09 加零等于几等于五啊
43:11 所以分母等于什么
43:12 分母等于五
43:13 好嘞
43:14 这是什么
43:15 这是贝塔一
43:17 贝塔一的类积分之阿尔法乘以贝塔一
43:20 那阿尔法二乘以贝塔一是多少呢
43:22 看一下累积啊
43:24 阿尔法二乘以贝塔一
43:27 其实就是阿尔法二的转置乘以贝塔一嘛
43:30 是不是阿尔法二是谁
43:32 阿尔法二在这里啊
43:33 阿尔法二在这里是转置呢
43:36 那是不是-201再乘以贝塔一
43:39 贝塔一就是阿尔法一
43:40 贝塔一就是阿尔法一这个地方的f10 吗
43:44 各位同学是不是对应分量相乘
43:47 对应分量相乘
43:48 是不是这个应该等于四-2乘-2的40x1
43:53 1x0都是零吗
43:54 所以这个地方的分子式再乘以贝塔一来
43:58 这个地方还有个贝塔一
44:00 贝塔一是贝塔一
44:01 就是阿尔法一
44:01 那照抄-210嘛
44:04 好了各位同学
44:06 两个向量相减了
44:07 你减一下等于多少
44:08 你说等于多少
44:09 是不是第一个分量啊
44:11 减去第一个分量
44:13 两个向量相减了
44:14 对应分量相减就可以
44:15 注意这个4/5要乘进去的好不好
44:17 -2这个地方是负的
44:19 是加上8/5
44:21 -2+8/5
44:24 你猜猜是不是负的2/5了
44:26 好这是第一个分量
44:28 第二个分量
44:28 第二个分量是零
44:30 看一下是不是0-0
44:33 减去-4/5乘以一
44:35 那是不是-4/5了
44:37 是不是好
44:38 第三个分量
44:40 第三个分量1-4/5乘以零就不减了吗
44:43 那么一吗
44:44 是贝塔二就出来了
44:46 是不是等于这个向量好不好
44:48 同学们看就这个向量-2/5
44:51 -41/5吗
44:52 好了
44:53 这是这两个向量四密特正交哦
44:55 那你得到的这两个向量
44:58 贝塔一贝塔正不正交了
44:59 你检查一下
45:00 你检查一下呀
45:01 为什么私密度它就可以把一个呃阿尔法一
45:04 阿尔法二不正交的向量给它搞成正交向量呢
45:07 对不对
45:08 好
45:08 这次我们看一下贝塔一贝塔二
45:10 你得到的贝塔一贝塔20分是不是正交的
45:15 就是它的内积
45:16 它的内积其实就是贝塔一的转置乘以贝塔二
45:20 贝塔一就是这个这个列向量
45:22 这个列向量的转置就是-2102变成行向量
45:27 再乘以列向量
45:27 列向量是这个-2/5
45:30 -4/5
45:32 你会发现这两个相乘对应分量相乘
45:35 是不是-2乘以-2/5
45:38 那是不是4/5好
45:40 第一个分量乘以第一个分量
45:42 第二个分量一乘以-4/5
45:44 是不是-4/5
45:45 是不是啊
45:46 第三个分量零乘以这个地方的一
45:49 是不是加上一个零啊
45:50 对应分量相乘再相加恰好等于什么呢
45:53 所以我们得到了贝塔一
45:54 贝塔二恰好是正交的本身阿尔法一
45:58 阿尔法二是不正交的
45:59 经过施密特法以后
46:01 它就变成了正交的向量
46:03 被他一辈子了
46:04 怎么教了
46:05 听明白了吗
46:06 同学们好
46:07 而正交化以后呢
46:09 第四步
46:10 第四步是不是要把所有的特征向量怎样好
46:13 第四步就是要把所有的刚才得到的阿尔贝塔一
46:17 贝塔二
46:18 阿尔法三啊
46:19 给他怎样单位化是吧
46:21 这个单位化就可以了是吧
46:23 如何单位化呢
46:25 比方说我的呃贝塔一贝塔一怎么给它单位化
46:29 就是贝塔一的这个本身的向量除以它的长度
46:33 就刚才所说的模吗
46:35 是不是它的长度
46:37 贝塔一的长度等于什么
46:38 显然贝塔一的长度就是谁的长度呢
46:41 就是这个向量谁这个-210
46:45 它的长度等于什么
46:46 是不是等于它的各个分量的平方和
46:48 是不是等于根号下-2的平方
46:51 加上一的平方
46:52 再加上零的平方
46:53 也就是等于根号五吗
46:54 同学们长度等于根号五啊
46:57 就是你看这个地方是不是根号5k
46:59 再乘以它的呃
47:01 分根号1/5
47:02 再乘以贝塔一-210嘛
47:05 好不好
47:06 同学们好
47:07 同理
47:08 我们当然可以把贝塔二也可以
47:10 它给它单位化是吧
47:12 除以它的模
47:13 它的模等于根号45长度就是模
47:16 还有阿尔法三也可以给它这个单位化
47:19 阿尔法三的模等于什么呢
47:21 阿尔法三的模等于呃这个这个根号啊
47:25 根号几的根号下1/2的平方
47:28 加上一的平方
47:29 再加上一的平方
47:31 也就等于根号几1/4加二
47:35 等于根号下9/4啊
47:38 也就等于3/2是吧
47:41 32/2分之三是他的母好不好啊
47:44 是他的母
47:45 然后再乘以c诶
47:46 再乘以阿尔法三呃
47:49 分之一
47:49 3/2分之一也是2/3
47:51 2/3
47:52 再乘以咱们的呃
47:53 阿尔法三
47:54 阿尔法32分之一一一
47:56 恰好可以等于这个式子把这个二层进来了
48:00 二层就来变成啊这个12/2分之一
48:04 这个地方是1/2
48:05 22x1/2得一嘛
48:07 二乘以这个地方的二层进来
48:09 分子层进来好不好
48:11 变成二二
48:13 同学们看到了吗
48:15 是不是你自己下来在草稿纸上再算一遍
48:18 好不好
48:18 算一遍
48:20 好这样我们得到cos 1 cos 2以及cos 32
48:23 同学们好嘞
48:25 那cos 1 cos 2 cos 3
48:27 有了cos 1 cos 2 cos 3有了
48:29 我们只需要第五步
48:30 怎样令可以等于这个cos 1 cos 2 cos 3
48:34 把cos 1 cos 2 cos 3合并起来哟
48:36 是不是呃
48:38 呃这个向量就是根号五分之啊
48:41 -2把根号1/5乘进来哦
48:44 根号1/5和根号1/5乘以零得零
48:48 是不是好可s2 是谁
48:50 cos 2
48:50 是根号1/45
48:51 乘到这三个分量里面存进去吗
48:53 看这是可塞二cos 3呢
48:56 把这个1/3乘进来了
48:57 是不是我们得到了
48:59 可以哦
48:59 这个k又是一个正交矩阵啊
49:02 正交矩阵每一个列都是单位列啊
49:05 它的长度都是一是吧
49:07 每两列之间是两两正交的好了
49:10 我们当然可以得到这样的一个正交正
49:13 它的-1次幂乘以a乘以
49:15 可以恰好是等于什么
49:16 恰好是等于这一个间间矩阵
49:19 对角矩阵特征值所构成的
49:21 18 18 九所构成的这个对角矩阵
49:25 其中这个k o-1
49:27 因为它是正交矩阵
49:28 k o的-1次幂就是等于可有的转置
49:31 有的题会写成k u的转a k u等于减减
49:34 这样也是可以的
49:36 好这个题稍微麻烦一些啊
49:39 同学们多听两遍好了
49:41 同学们这个题就是这样