简介
应广大同学们的要求，老师又新上传了《高等数学（上）》、《高等数学（下）》、《概率论与数理统计》的速成课，快去看看吧。另外，如果可以的话，请同学们多多分享！ 配套电子讲义、章节练习题：在置顶评论区有获取方法
章节
00:00余子式、代数余子式17:57拆和法计算行列式24:29拉普拉斯法计算行列式
字幕
余子式、代数余子式 00:00
00:04 好同学们大家好
00:07 我们再来继续讲解行列式的计算
00:13 此处我们将会讲解三种题型
00:18 第一个我们先来介绍一下余子式和代数余子式
00:25 所谓的余子式是这样来的
00:29 假设有这样一个行列式
00:34 三行三列
00:37 那么所谓的余子式就是指元素ai j的元素
00:44 ai j的余子式
00:46 就是去掉ai j所在的行和所在的列
00:54 去掉以后得到的行列式就是余子式
01:00 与此时我们把它记为m i j
01:07 简单的来说
01:08 比方说我们说a11 的余子式
01:12 a11 的余子式就是去掉a一所在的行
01:16 去掉a一所在的列
01:19 这样一个二阶行列式被称为a11 的余子式
01:25 把它记为m11
01:29 这就是余子式的概念
01:32 当然我们也可以得到元素
01:38 a12 的余子式也就是去掉什么呢
01:42 去掉a12 所在的行所在的列
01:46 剩余的四个元素a21 a23
01:51 a31 a33 构成的二阶行列式被称为余子式
01:59 同样我们当然也可以得到a33 等于14
02:03 也就是去掉元素ai 3所在的函数
02:07 在的列得到的剩余的四个
02:11 含四个元素构成的行列式
02:15 这个叫余子式
02:18 那什么叫代数余子式呢
02:21 我们称带有符号的余子式
02:27 -1的i加j次方乘以m i j称为元素
02:32 ai阶的代数余子式
02:36 代数余子式我们一般记为ai解
02:41 也就是说
02:42 代数余子式a i j应该等于余子式
02:47 多了一个符号
02:49 这个符号是由含下标i和列下标j的和
02:56 所决定的
02:58 好比方说a12 和m12 是什么关系呢
03:06 它带有一个-1的1+2次方
03:09 也就是等于负的m12
03:15 比方说a33 等于什么
03:17 a33 应该等于-1的3+3次方乘以m33
03:23 -1的3+3等于正一代数
03:27 余子式a i a33 等于余子式m33
03:35 第三条行列式呢它有一个所谓的展开定理
03:42 一个行列式我们以三阶行列式为例
03:46 它可以等于某一行的元素
03:51 乘以相应的代数余子式再求和
03:56 可以是第一行的元素
03:58 也可以是第二行的元素
04:01 也就是说它可以是第i行的元素
04:04 ai 1 ai 2 a i3 乘以它的第i行的代数余子式
04:12 乘以第i行的代数余子式
04:15 再求和
04:17 这个i等于什么呢
04:18 i可以等于一
04:20 可以等于二
04:21 也可以等于三
04:24 好一个行列式可以等于某行元素乘以代数
04:31 余子式再求和
04:34 那么
04:37 实际上一个行列式还可以等于什么
04:40 某一列
04:41 某一列的元素乘以相应的代数余子式再求和
04:48 当然既可以是第一列
04:50 也可以是第二类
04:52 也可以是第三列
04:53 所以我们写的是a一阶
04:57 就是第j列的a2 阶
05:00 a3 级
05:01 第j列的三个元素乘以它们相应的代数余子式
05:07 再求和
05:09 其中这个阶可以等于什么呢
05:11 其中这个阶可以等于123啊
05:17 总结一下一个规律是什么呢
05:19 就是一个行列式啊
05:22 一个行列式它可以等于某行或者某列元素
05:30 乘以相应的代数余子式再求和
05:38 一个行列式可以等于某行元素乘以
05:41 相应的注意是相应的啊
05:44 代数与知识三教合
05:48 比方说我们来一道小小的例题
05:53 这是一个三阶行列式啊
05:56 这是一个三阶行列式
05:59 根据我们前面的方法
06:01 可以将一个三阶行列式
06:05 啊化为所谓的上三角行列式
06:08 或者是下三角行列式
06:11 再用主对角元素的乘积来进行计算
06:15 但是作为本题
06:16 当我们学习了行列式的展开定理以后呢
06:21 你会发现我们有时候不需要化成三角行列式
06:25 也可以计算
06:26 比方说这样一个行列式
06:28 它有一个第二行
06:31 非常的有特点
06:33 第二行除了第一个元素非零以外
06:37 其他两个元素都为零
06:39 那么我们刚才讲一个行列式
06:43 等于某行元素乘以相应代数余子式再求和
06:48 那我可不可以按照第二行来展开
06:51 等于二乘以a2
06:54 1+0乘以a2 加上零乘以a23 了
07:00 这个200恰好是第二行的元素
07:06 第二行的元素乘以相应代数余子式再求和
07:12 为什么可以这样做呢
07:14 就是因为同学们想想看嗯
07:19 二项和第三项是不是都可以不看
07:22 因为它们都是什么
07:23 零乘以代数余子式
07:26 对不对
07:27 我们只需要求a21 就可以了
07:31 a21 怎么求呢
07:33 a21 是不是应该等于-1的二
07:38 加一次方乘以m21 m21 是不是余子式
07:42 余子式就是划掉a2 e所在的行和所在的列
07:47 得到的二三和三四
07:50 这样四个元素就被称为什么呢
07:53 就被称为余子式哈
07:56 最终结果等于什么呢
07:58 同学们二四得八
08:01 三三得九-1
08:03 是不是
08:04 但是这个地方有一个-1呀
08:06 -1乘-1 m21 等于-1吗
08:10 是不是同学们结果等于几呀
08:14 等于二好
08:16 就是这样一个题
08:18 也就是说当我们用行列式展开定理的时候
08:22 我们就希望某行元素它的磷元素尽量的多
08:27 这样计算起来更为方便
08:30 第二个嗯
08:33 可不可以是某列元素零元素尽量多呢
08:38 第二列你会发现一个问题
08:41 它的第一个元素为零
08:42 其他两个元素均为零
08:45 这个时候我们可以按照第二列来展开
08:49 也就是等于三倍的a12 加上零倍的l2
08:56 加上零倍的l3
08:59 而300恰好是第二列的元素
09:04 可以按照第二列来展开
09:09 那么零乘以a2
09:11 零乘以a23 都可以不看的
09:14 只需要计算a2
09:18 也就是-1的i加阶次方乘以m12 m12
09:23 就是把第三这个元素所在的行所在的列化掉吗
09:28 当然它会多了一个什么呢
09:31 -1的1+2次方多了一个负号
09:34 最终我们算下来等于几呢
09:36 等于-3
09:39 同学们
09:41 这是行列式的展开定理嗯
09:46 利用行列式展开定理计算行列式
09:48 我们希望什么呢
09:50 希望某行元素或者是某列元素
09:53 它的零元素尽量的多
09:55 这样计算起来方便一些
09:59 好
10:02 关于余子式和代数余子式
10:05 还有另外一种题型啊
10:08 已知嗯这样一个四阶行列式
10:11 这是一个四阶行列式
10:15 什么叫世界行列式
10:16 四行四列的行列式
10:21 要求a31 加上三倍的a32
10:27 减去二倍的a33 加上二倍的a34
10:33 好
10:34 同学们看一下
10:36 这个代数余子式是第第几行的元素
10:41 它的代数余子式是不是第三行的元素
10:48 所对应的代数余子式
10:50 要求他们的一个加加减减还带有系数是吧
10:56 有加也有减吗
10:58 此处我们做一个小小的分析
11:03 嗯分析如下
11:09 嗯首先我们来看一下这样一个三阶行列式
11:14 三行三列的行列式
11:16 可不可以按照第一行来展开呢
11:19 第一行是a b c3 个元素
11:22 所以应该等于a乘以a11
11:25 加上b乘以a2
11:27 加上c乘以a13
11:29 也就是第一行的元素乘以第一行的代数余子式
11:34 再求和
11:36 这是没有任何问题
11:38 就是我们刚刚讲过的
11:39 按某一行展开吗
11:42 现在我的问题是
11:44 各位同学
11:45 我的问题是
11:46 如果我把此处的a换成k1
11:52 此处的b换成k2
11:55 此处的c换成k3
11:59 那么我们会发现这个行列式是不是相应的
12:04 要把这个元素a换成k1
12:07 b换成k2
12:10 c换成k3
12:16 那么我们发现这个左边是等于右边的
12:21 左边等于右边
12:23 那我反过来用逆向思维的思想
12:26 右边是不是等于左边
12:28 右边k一倍的a11 加上k2 倍的a2
12:35 加上k3 倍的a13
12:37 是不是应该等于左边左边是谁
12:40 左边是不是应该是把第一行的a b c替换为谁
12:44 替换为k1 k2 k3 的一个三阶行列式呢
12:50 能听懂吗
12:51 同学们
12:54 这个方法叫什么
12:56 这个方法其实就是把原来的第一行的abc
13:02 替换为了这几个系数
13:07 k1 k2 k3
13:09 这个方法被称为替换法啊
13:14 替换法
13:18 作为本题我们要求的是第三行的代数余子式
13:25 第三行的代数余子式的加法
13:29 减法的混合有加有减
13:32 根据我们刚刚所得到的替换法
13:35 是不是要把相应的第三行的元素替换为
13:42 你这个这个系数是一吗
13:44 相当于是k一嘛
13:46 对不对
13:47 这个三是k2 吗
13:49 这个-2-2是谁
13:51 -2是不是可以删的
13:53 这个二是不是k4 嘞
13:56 所以只需要把第几行的元素替换为系数
14:01 替换为k1 k2 k3
14:05 实际上也就是把第三行的元素替换为k1 k2
14:10 k3 k4
14:12 这就是所谓的替换方
14:17 当然这样一个四阶行列式
14:19 我们前面讲过方法啊
14:21 可以化成三角行列式
14:23 是不是也可以按照某一行或者是某一列来展开
14:28 都可以
14:32 结果呢我给大家展示一下
14:35 同学们自己下来再算一算第几行的代数余子式
14:40 它的加加减减就应该等于
14:44 把第几行的元素替换成它的系数就可以了
14:50 此处我再问同学们一个问题
14:54 如果这个题改一下
14:57 要求的是m31
15:02 m3 和m33 和m34 呢
15:07 注意现在它不再是代数余子式的线性组合
15:13 而是余子式的线性组合
15:16 也就是余子式的加加减减
15:18 对不对
15:19 余子式的加加减减
15:23 那怎么办
15:25 我们可以转换一下m31
15:28 我们知道一个问题
15:30 a31 是不是a31 是不是应该等于几
15:35 等于-1的3+1乘以m31
15:40 -1的3+1是一个正数呀
15:42 不用看了
15:43 就是m31 可以替换为谁
15:46 a31
15:49 那相同的道理m32 呢
15:52 因为我们知道a32 等于-1的3+2
15:56 乘以m32
15:58 这个地方是一个-1
16:00 也就是说m32 等于几
16:03 m32 将会等于负的什么负的a32
16:09 同样的道理m33 将会等于什么呢
16:13 a33 m34 等于负的a34
16:21 也就是最终我们要求的是什么
16:23 最终要求的是a31 减去a32
16:30 加上a33 减去a34
16:38 这样一个代数余子式的线性组合
16:41 也就是代数余子式的加减法啊
16:44 加减法
16:47 那么它的系数分别是几
16:49 系数分别是一以及-1以及一以及-1呢
16:56 那它的结果应该是
16:58 把第几行的元素替换为它的系数呢
17:02 是不是第三行的元素
17:04 因为它是第三行的代数余子式的加加减减
17:08 第三行的元素将会替换为-11-1
17:17 那其他行的变不变
17:19 其他含的元素是不需要变的
17:37 只需要把第三行的元素替换为系数就可以了
17:43 对不对
17:43 同学们
17:46 嗯这是求代数余子式的一种组合的题型
拆和法计算行列式 17:57
17:57 第六个也就是本小节课的第二个
18:03 利用拆盒的方法来计算
18:06 哈里斯先看一个题
18:10 这个题需要用到拆盒的方法
18:13 马上我会讲什么
18:14 什么叫拆合的方法
18:17 若一个三阶行列式
18:21 这些元素是抽象的
18:22 不知道就没有给出来
18:25 但是这个行列式的值给出来等于一
18:28 而另外一个三阶行列式
18:30 你会发现一个特点
18:32 它的第二列每一个元素都是由什么呢
18:36 两个元素的差来构成啊
18:41 差来构成
18:43 那最终我们要求这个行列式啊
18:45 要求这个行列式我们该如何来计算
18:51 先分析如下
18:54 单行列式的某一列或者是某一行的元素
19:00 为两数之和时
19:02 那则行列式可以分解为两个小小的行列
19:08 式子和这个如何来理解呢
19:13 我们可以用二阶行列式来跟你说一下啊
19:18 a加b c加d e f
19:24 我们看第一列的元素是两个元素之和呀
19:33 如果按照我们刚刚的
19:35 它可以按照第一列展开
19:39 等于a加b乘以a11
19:43 加上c加d乘以a21
19:50 按照第一列展开吗
19:52 那么你们会发现可不可以展开
19:57 把括号打开吗
19:59 a倍的a11 加上必备的a11
20:05 再加上c倍的a21
20:09 d倍的a21
20:12 第一项和第三项结合
20:14 第二项和第四项结合
20:17 也就是它会等于a倍的a e e
20:22 加上c倍的a2 e
20:26 我把它打一个括号
20:29 第二项和第四项结合
20:33 必备的a e e加上必备的a r e
20:40 好各位同学请喊好
20:44 这样一个式子可不可以看成一个行列式
20:49 c e f呢
20:54 也就是按照第一列展开所得到的二阶行列式
21:01 jason后面这个式子可不可以按照第一列展开
21:07 只是第一列的元素是b和d
21:12 ef呢同学们看到没有
21:16 你会发现左边这一个行列式
21:20 他真的是拆成了两个简单行列式的
21:25 和同学们对不对
21:27 好嘞
21:30 这是这个解释
21:31 第二条要说明的是
21:34 当行列式的某两列
21:37 或者是某两行的元素成比例的时候
21:40 这个行列式一定是零吗
21:44 一比方说某两点a b是吧
21:48 2a2 b对不对
21:52 我们知道第二列可以提个公因子吗
21:55 等于几二倍的a b a b
22:02 两列元素完全相同
22:05 等于主对角线减去副对角线
22:09 结果一定是零了
22:10 a b减a b嘛
22:12 是不是等于零了
22:13 所以某两列成比例行列式的值一定是零了
22:18 同学们
22:21 那么作为本题我们该如何来计算
22:26 同学们请看好
22:32 这是我要求的第一的行列式
22:36 第二列可以看成
22:42 两个元素的相减
22:44 于是我可以按照第二列来拆和可以拆成什么呢
22:50 拆成两个行列式
22:52 第二类的元素就是其中的第一列
22:57 这一个第二个行列式的
23:01 第二列的元素就是第二列了
23:05 拆合成两个简单的行列式的和好
23:12 现在我们发现一个问题哦
23:14 第一个行列式当中
23:16 这两列的元素是不是成比例的
23:20 同学们是不是-1比一-1比一-1比一呢
23:28 成比例的某两列元素成比例
23:31 行列式的值为零啊
23:34 各位同学
23:37 所以第一个行列式值为几啊
23:39 第一个行列式的值是零
23:44 好我们再看第二个行列式
23:47 第二个行列式有公因子可以提啊
23:49 第一列可以提-2
23:51 第二列可以提-1
23:53 把它提出来不就好了吗
23:56 结果等于-2
23:58 -1乘以一个三阶行列式
24:04 而这个行列式的值咱们是不是知道的呢
24:07 已经告诉你它等于一了
24:10 是不是你把它带进去
24:12 这个行列式的值等于一吗
24:14 最终结果也会等于几的二
24:20 利用拆和的方法来计算行列式
24:23 就是把某一行或者是某一列
24:26 你给它拆开再讲一类题型啊
拉普拉斯法计算行列式 24:29
24:30 利用拉普拉斯公式计算我们的行列式
24:36 一个常见公式是这样的
24:39 假如有这样一个四阶行列式
24:43 是行四列的行列式
24:45 我们会发现它的特点
24:48 它的特点是什么呢
24:49 如果你把它分块的话
24:51 它可以分成四块
24:56 分成四块
24:58 这四块你会发现右上角的这一块呀
25:02 全部是零
25:04 全部是雷
25:06 前面我们在讲三角形行列式的时候
25:09 如果是a0 cb的行列式
25:13 是不是所谓的下三角
25:15 下三角行列式等
25:17 不等于主对角元素的乘积
25:20 是不是a乘b的了
25:23 而现在当我把这个a变成一个小小的快
25:31 两行两列的一个子块
25:33 这个零也是两行两列的零
25:36 这个c也是两行两列的c
25:40 两行两列的b能不能写成这个框框
25:44 a乘以框框b
25:47 当然前提是这个框框要求什么行列式
25:50 是不是要求行列式相当于是一个什么
25:54 相当于是一个下三角形的行列式
25:59 也就是等于左上角的行列式
26:03 乘以右下角的行列式
26:06 这个公式我们把它称为拉普拉斯公式嗯
26:12 非常的好非常的好用哦
26:17 比方说有这样一道例题
26:20 它同样可以分成几块啊
26:22 四块啊
26:27 而右上角这一块全部是零
26:30 可以看成所谓的下三角
26:33 是不是同学们堪称所谓的下三角
26:36 结果会等于左上角行列式乘以右下角行列式
26:43 最终结果等于一
26:46 现在有一个问题来了
26:49 如果我是要求这种呢
26:53 就是它是
26:57 右上角和左下角这种三角形行列式
27:04 那该怎么计算呢
27:06 能不能直接等于右上角
27:09 1234乘以左下角三一-11呢
27:15 我们说这种做法是有问题的
27:18 因为我们知道的三角形行列式
27:22 指的是这一种主对角线上非零
27:26 是不是主对角元素的乘积
27:30 或者是这种啊
27:33 或者是这种上三角
27:36 它也是主对角线上的元素非零
27:39 结果等于主对角元素的乘积
27:44 而现在这个题的问题是什么呢
27:48 它是什么
27:49 它是这种副对角线上的三角
27:53 是不是上面是零
27:57 你直接用辅对角元素相乘
27:59 那就有问题
28:00 那怎么办啊
28:02 我们很简单
28:04 只需要把什么呢
28:06 只需要把
28:10 这个右上角的这一块嗯
28:14 你给它调到左上角不就可以了
28:17 相应的左下角这一块是不是就会掉
28:21 换到右下角呢
28:24 我们做一个变换就可以了
28:26 就可以直接用拉普拉斯公式了
28:29 各位同学
28:31 我们该如何调换呢
28:33 你看看怎么将右上角的这四个元素
28:37 换到左上角的四个元素呢
28:40 那我可不可以这样来呢
28:41 同学们想想看
28:43 只需要将1300和003 -1调换一下位置
28:49 同时将2400和0011
28:55 第二列和第四列交换一下位置不就可以了吗
29:00 也就是c一与c3 交换位置
29:08 嗯然后c2 与c4 交换位置
29:13 但是我们知道一个行列式交换某两行
29:17 或者是交换某两列
29:19 会出现一个符号哦
29:22 交换了两次
29:23 那就-1的什么-1的平方啊
29:28 你看看这样的话
29:30 左上角果然就是一个飞人员非您的小块哦
29:37 右下角也是非零的效果
29:39 用拉普拉斯是不是等于左上角的行列式
29:43 乘以右下角的行列式呢
29:45 最终会等于1234x31
29:49 -1的行列式
29:52 小小结果等于-8
29:55 这是第一讲当中关于行列式的计算