《线性代数》4 小时速成课（不挂科）P2 字幕总结

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原字幕笔记：行列式第二讲
本节主题：行列式的计算，包括余子式、代数余子式、拆和法与拉普拉斯法。

一句话总结

本节围绕「如何更快计算行列式」展开：先用余子式和代数余子式建立按行、按列展开的方法，再介绍代数余子式线性组合的替换法、拆和法，以及块三角行列式的拉普拉斯公式。

章节脉络

1. 余子式、代数余子式：定义 $M_{ij}$ 和 $A_{ij}$，并用展开定理计算行列式。
2. 拆和法计算行列式：当某一行或某一列由两部分相加、相减构成时，将行列式拆成多个更简单的行列式。
3. 拉普拉斯法计算行列式：把特殊高阶行列式看成块三角结构，转化为低阶行列式乘积。

1. 余子式与代数余子式

1.1 余子式

对于行列式中的元素 $a_{ij}$：

• 去掉 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行；
• 去掉 $a_{ij}$ 所在的第 $j$ 列；
• 剩下元素构成的行列式，称为 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$。

例如三阶行列式中，$a_{12}$ 的余子式 $M_{12}$ 就是去掉第 1 行、第 2 列后得到的二阶行列式。

1.2 代数余子式

代数余子式是在余子式前加上符号：

$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$

符号由 $i+j$ 的奇偶性决定：

• $i+j$ 为偶数：$A_{ij}=M_{ij}$；
• $i+j$ 为奇数：$A_{ij}=-M_{ij}$。

例如：

$$A_{12}=(-1{)}^{1+2}{M}_{12}=-M_{12}$$ $$A_{33}=(-1{)}^{3+3}{M}_{33}=M_{33}$$

2. 行列式展开定理

一个行列式可以按任意一行或任意一列展开。

2.1 按第 $i$ 行展开

$$D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}$$

即：某一行的每个元素，分别乘以对应的代数余子式，再求和。

2.2 按第 $j$ 列展开

$$D=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\cdots +a_{nj}{A}_{nj}$$

即：某一列的每个元素，分别乘以对应的代数余子式，再求和。

2.3 计算策略

展开时优先选择 0 多的行或列

因为 $0$ 乘以代数余子式后直接为 $0$，可以少算很多项。

课程中的例题强调：

• 如果某一行只有 1 个非零元素，就按这一行展开；
• 如果某一列只有 1 个非零元素，就按这一列展开；
• 展开后只需要计算非零元素对应的代数余子式。

3. 代数余子式线性组合的「替换法」

3.1 核心结论

如果要求某一行代数余子式的线性组合：

$$k_1{A}_{i1}+k_2{A}_{i2}+\cdots +k_n{A}_{in}$$

可以构造一个新行列式：

• 保持原行列式其他行不变；
• 把第 $i$ 行替换为系数行 $(k_1,k_2,\dots ,k_n)$；
• 新行列式的值就是这个线性组合。

同理，如果是某一列代数余子式的线性组合，就把对应列替换成系数列。

3.2 例题思路

若题目要求：

$$A_{31}+3A_{32}-2A_{33}+2A_{34}$$

这是第 3 行代数余子式的线性组合，系数为：

$$(1,3,-2,2)$$

所以只需把原四阶行列式的第 3 行替换为 $(1,3,-2,2)$，再计算新行列式。

3.3 如果题目给的是余子式

如果题目给的是 $M_{ij}$，要先转换成代数余子式：

$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$

等价地：

$$M_{ij}=(-1{)}^{i+j}{A}_{ij}$$

例如第 3 行：

• $M_{31}=A_{31}$；
• $M_{32}=-A_{32}$；
• $M_{33}=A_{33}$；
• $M_{34}=-A_{34}$。

所以如果要求第 3 行余子式之和：

$$M_{31}+M_{32}+M_{33}+M_{34}$$

就等价于：

$$A_{31}-A_{32}+A_{33}-A_{34}$$

再用替换法，把第 3 行替换为：

$$(1,-1,1,-1)$$

4. 拆和法计算行列式

4.1 核心思想

如果行列式的某一行或某一列，每个元素都能写成两部分之和或之差，那么行列式可以拆成两个行列式的和或差。

例如某一列为：

$$\left(\begin{array}{c}a+b\\ c+d\end{array}\right)$$

则可以拆成：

$$\left|\begin{array}{cc}a+b& \ast \\ c+d& \ast \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a& \ast \\ c& \ast \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}b& \ast \\ d& \ast \end{array}\right|$$

如果是差，则拆成两个行列式相减。

4.2 配合使用的性质

拆和法常与以下性质结合：

• 某两行或某两列成比例，行列式为 0。
• 某一行或某一列有公因子，可以把公因子提到行列式外。
• 已知某个基础行列式的值时，可把拆出的部分化回该基础行列式。

4.3 课程例题思路

课程中的题目先把第 2 列按差拆开，得到两个行列式：

1. 第一个行列式中，有两列成比例，因此值为 $0$；
2. 第二个行列式中，可以从列中提出公因子，最后化为已知值为 $1$ 的行列式；
3. 因此最终结果由提出的公因子乘积决定，得到结果 $2$。

5. 拉普拉斯法计算行列式

5.1 块三角行列式

如果一个高阶行列式可以分块成如下形式：

$$\left|\begin{array}{cc}A& 0\\ C& B\end{array}\right|$$

其中右上角是零块，那么它类似于下三角行列式，结果为：

$$\left|\begin{array}{cc}A& 0\\ C& B\end{array}\right|=|A|\cdot |B|$$

同理，对于上三角块形式：

$$\left|\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right|=|A|\cdot |B|$$

5.2 使用条件

不能把副对角块结构直接当成块三角

拉普拉斯公式直接适用于主对角线上有非零块、另一侧为零块的情况。若非零块在右上角和左下角，需要先通过行列或列变换把它调整到主对角块位置。

5.3 副对角块结构的处理

如果非零块在右上角和左下角：

1. 通过交换列或行，把右上角非零块换到左上角；
2. 同时把左下角非零块换到右下角；
3. 每交换一次两行或两列，行列式变号一次；
4. 若交换了 $m$ 次，总符号因子为 $(-1{)}^m$；
5. 调整成块三角形式后，再用 $|A|\cdot |B|$ 计算。

课程例题中通过交换两次列，符号因子为 $(-1{)}^2=1$，然后使用拉普拉斯公式，最终算得结果为 $-8$。

6. 做题流程整理

遇到行列式计算题，可以按下面顺序判断：

1. 是否有 0 很多的行或列？
   有则优先用代数余子式展开。

2. 是否要求代数余子式或余子式的线性组合？
   先把余子式转成代数余子式，再用替换法。

3. 某一行或某一列是否由和或差构成？
   可以用拆和法拆成多个简单行列式。

4. 是否出现两行或两列成比例？
   对应行列式直接为 $0$。

5. 是否能分块成块三角结构？
   可以用拉普拉斯公式，化为两个低阶行列式的乘积。

6. 如果是副对角块结构？
   先交换行或列，把非零块移到主对角位置，同时记录符号变化。

7. 易错点

• 余子式 $M_{ij}$ 和代数余子式 $A_{ij}$ 不是一回事，二者相差符号 $(-1{)}^{i+j}$。
• 按行、按列展开时，必须使用「对应位置」的代数余子式。
• 替换法只适用于同一行或同一列的代数余子式线性组合。
• 题目给余子式时，要先转成代数余子式再替换。
• 拆和法只能对同一行或同一列的整体结构拆分，不能随意拆单个元素后破坏行列式结构。
• 块三角公式看的是主对角块结构；副对角块结构不能直接套公式，必须先变换并考虑符号。

8. 重点公式速查

$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$ $$D=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}$$ $$D=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}$$ $$\sum _{j=1}^n{k}_j{A}_{ij}=\text{把第 }i\text{ 行替换为 }(k_1,k_2,\dots ,k_n)\text{ 后的新行列式}$$ $$\left|\begin{array}{cc}A& 0\\ C& B\end{array}\right|=|A|\cdot |B|$$ $$\left|\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right|=|A|\cdot |B|$$