《线性代数》4 小时速成课（不挂科）P1 字幕总结

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原字幕笔记：行列式第一讲
本节主题：行列式的基础计算方法，包括二阶行列式、三角形法、范德蒙德行列式与爪形行列式。

一句话总结

本节主要讲「行列式怎么算得快」：从二阶行列式的「主减副」开始，推广到利用行列式性质化为三角形行列式，再识别并套用范德蒙德行列式和爪形行列式的固定套路。

章节脉络

1. 二阶行列式的计算：掌握主对角线乘积减副对角线乘积。
2. 三角形法计算行列式：用行列式性质把一般行列式化为上三角或下三角。
3. 范德蒙德行列式：识别等比数列结构，直接用公比元素两两作差相乘。
4. 爪形行列式：先把主对角线后续元素化为 1，再用倍加变成三角形行列式。

1. 二阶行列式的计算

二阶行列式由 2 行 2 列的 4 个元素组成：

$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$$

计算公式是：

$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$$

也就是：

口诀

主减副：主对角线元素乘积，减去副对角线元素乘积。

2. 三角形法计算行列式

2.1 三角形行列式

如果行列式主对角线以下全为 0，称为上三角行列式；如果主对角线以上全为 0，称为下三角行列式。

对于上三角或下三角行列式，结果都等于主对角线元素的乘积：

$$D=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}$$

2.2 常用行列式性质

课程中用到 3 个核心性质：

性质 1：倍加性质

把某一行（或某一列）的 $k$ 倍加到另一行（或另一列）上，行列式的值不变。

常用于把某些元素消成 0，从而化为三角形行列式。

性质 2：公因子可提出

如果某一行或某一列所有元素都有公因子，可以把这个公因子提到行列式外。

例如某一行整体都有因子 $k$，则：

$$D=k{D}^{\prime }$$

性质 3：交换两行或两列变号

交换行列式中的任意两行或任意两列，行列式变号。

如果交换了 $m$ 次，总符号因子为：

$$(-1{)}^m$$

2.3 化为三角形的基本思路

一般行列式可以通过行变换或列变换化为上三角或下三角，再用主对角线元素乘积求值。

常见步骤：

1. 优先制造首元 1：如果左上角元素不是 1，可通过交换行或列，把某个 1 换到左上角。
2. 记录符号变化：每交换一次行或列，行列式要乘以 $-1$。
3. 用倍加消元：用首行或首列把下面或右边的元素消成 0。
4. 提出公因子：遇到整行或整列有公因子时，先提出，简化后续计算。
5. 继续消元：逐步形成上三角或下三角。
6. 主对角线相乘：最后用主对角线元素乘积，并乘上前面提出的因子与符号。

易错点

倍加不改变行列式值；但交换行或列会变号，提出公因子会改变外部系数。三者不要混淆。

2.4 每行和相等的特殊行列式

课程中讲到一种典型题：主对角线是一种元素，其他位置是另一种元素，并且每一行元素之和相等。

处理方法：

1. 把后面所有列全部加到第 1 列；
2. 第 1 列会出现公共因子；
3. 提出公共因子后，第 1 列变成全 1；
4. 再利用倍加性质化为三角形行列式。

例如三阶情形中，如果每行之和为 $x+2a$，最终结果为：

$$(x+2a)(x-a{)}^2$$

识别信号

看到「主对角线一种数、非主对角线另一种数」，优先检查每行和是否相等。

3. 范德蒙德行列式

3.1 结构特点

三阶范德蒙德行列式常见形式：

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ x_1& x_2& x_3\\ x_1^2& x_2^2& x_3^2\end{array}\right|$$

它的特点是：

• 第一行全是 1；
• 每一列都是等比数列；
• 公比元素在第 2 行，分别为 $x_1,x_2,x_3$。

3.2 三阶公式

三阶范德蒙德行列式结果为：

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ x_1& x_2& x_3\\ x_1^2& x_2^2& x_3^2\end{array}\right|=(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)$$

也就是：公比元素两两作差，再相乘。

3.3 四阶公式

四阶范德蒙德行列式中，如果公比元素为 $a,b,c,d$，则结果为：

$$(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)$$

规律是：后面的元素减前面的元素，全部组合相乘。

更一般地：

$$\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)$$

3.4 类范德蒙德行列式

有些题看起来不是标准范德蒙德，但可以通过变形转成标准形式。

课程中的例题思路：

1. 原行列式第一行不是全 1；
2. 但下面两行类似 $a,b,c$ 和 $a^2,b^2,c^2$；
3. 把第二行加到第一行，使第一行变成同一个公共因子；
4. 提出公共因子后，第一行变为 $1,1,1$；
5. 剩余部分就是三阶范德蒙德行列式。

如果公共因子为 $a+b+c$，最终可写为：

$$(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)$$

识别信号

看到 $a,b,c$ 与 $a^2,b^2,c^2$ 成列出现时，优先考虑能否转化为范德蒙德行列式。

4. 爪形行列式

4.1 结构特点

爪形行列式又称箭形行列式，非零元素主要集中在：

• 主对角线；
• 第 1 行；
• 第 1 列。

形状类似「爪」或「箭头」。

4.2 基本处理套路

课程给出的核心方法：

1. 将主对角线从第 2 个到第 $n$ 个元素化为 1；
2. 通常通过从第 2 行到第 $n$ 行分别提出公因子实现；
3. 提出公因子后，第 1 列对应位置会出现分数；
4. 再把后面各行的适当倍数加到第 1 行；
5. 将第 1 行中除第 1 个元素外的元素消成 0；
6. 行列式变成下三角行列式；
7. 最后用主对角线元素乘积求值。

4.3 第一行元素全为 1 的情形

若爪形行列式中，第 1 行和第 1 列除左上角外多为 1，且主对角线元素为 $a_2,a_3,a_4$ 等：

1. 从第 2 行、第 3 行、第 4 行分别提出 $a_2,a_3,a_4$；
2. 主对角线后续元素变成 1；
3. 第 1 列对应位置变成 $\frac{1}{a_2},\frac{1}{a_3},\frac{1}{a_4}$；
4. 用后面各行加到第 1 行，把第 1 行的非首元素消为 0；
5. 得到三角形行列式。

此时结果等于提出的因子乘以新的主对角线乘积。

4.4 第一行元素为其他数的情形

如果第 1 行除左上角外不是 1，而是 2、3、4 等其他数，方法不变：

• 仍然先从后续各行提出主对角线元素，使主对角线后续元素变成 1；
• 若第 1 行某位置是 2，就把对应行的 2 倍加到第 1 行，用来消掉该位置；
• 若第 1 行某位置是 3，就把对应行的 3 倍加到第 1 行；
• 依此类推。

消元时，第 1 个元素会相应出现类似 $-\frac{2}{a_2}$、$-\frac{3}{a_3}$、$-\frac{4}{a_4}$ 的变化，最后仍然化为三角形行列式。

易错点

爪形行列式不是直接套「主对角线相乘」。必须先通过提因子和倍加，把它真正化为三角形行列式。

5. 做题流程整理

遇到行列式计算题，可以按下面顺序判断：

1. 是否是二阶行列式？
   直接用「主减副」。

2. 是否已经是上三角或下三角？
   直接用主对角线元素相乘。

3. 是否能用倍加消元化为三角形？
   用行变换或列变换逐步消 0，注意交换变号、提因子改变外部系数。

4. 是否每行和相等？
   把后面所有列加到第 1 列，提出公共因子，再化为三角形。

5. 是否是范德蒙德或类范德蒙德？
   检查是否有 $1,x,x^2,\dots$ 的等比列结构；若不标准，尝试先变形出第一行全 1。

6. 是否是爪形行列式？
   先把主对角线后续元素化为 1，再用倍加消去第 1 行或第 1 列的非首元素。

6. 易错点汇总

• 二阶行列式是「主减副」，不是两个对角线直接相加。
• 上三角、下三角行列式才可以直接用主对角线乘积。
• 倍加性质不改变行列式值，交换行列会变号，提出公因子会产生外部乘法系数。
• 化三角时，如果首元不是 1，可以先交换出 1，但要记录负号。
• 范德蒙德公式中是「后减前」：$x_j-x_i$，顺序错了会差一个符号。
• 类范德蒙德题要先变形成标准范德蒙德，不能只看形状就直接套。
• 爪形行列式要先变成三角形行列式，不能直接把原主对角线相乘。

7. 重点公式速查

二阶行列式

$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$$

三角形行列式

$$D=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}$$

交换行列变号

$$D^{\prime }=-D$$

范德蒙德行列式

$$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& \cdots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& \cdots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)$$

三阶范德蒙德

$$(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)$$

四阶范德蒙德

$$(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)$$