《线性代数》4 小时速成课（不挂科）矩阵第一讲字幕总结

来源

原字幕笔记：矩阵第一讲
本节主题：矩阵乘法、抽象型矩阵求逆、数字型矩阵求逆。

一句话总结

本讲进入矩阵部分，核心是掌握 3 类常考计算：矩阵乘法看「内标是否相等、外标确定结果阶数」；抽象矩阵求逆靠「凑定义」或「长除法」；数字矩阵求逆用「行初等变换」，二阶矩阵可用「两调一除」快速求逆。

章节脉络

1. 矩阵的乘积：判断能否相乘，确定结果阶数，并按「行乘列」计算每个元素。
2. 抽象型矩阵求逆：根据矩阵满足的多项式条件，凑出目标矩阵的逆。
3. 数字型矩阵求逆：用行变换把 $(A\mid E)$ 化为 $(E\mid A^{-1})$，二阶矩阵可直接套公式。

1. 矩阵的乘积

1.1 矩阵乘法的合法性

设矩阵 $A$ 是 $m\times n$，矩阵 $B$ 是 $p\times q$。

只有当：

$$n=p$$

时，$AB$ 才有意义。

也就是：

判断口诀

内标相等，矩阵可乘；外标保留，确定阶数。

例如：

$$A_{2\times 2}{B}_{2\times 3}$$

内标 $2=2$，所以可以相乘，结果阶数取外标：

$$AB\in {\mathbb{R}}^{2\times 3}$$

再如：

$$A_{3\times 4}{B}_{4\times 2}$$

内标 $4=4$，可以相乘，结果为：

$$AB\in {\mathbb{R}}^{3\times 2}$$

1.2 元素计算方法：行乘列

如果：

$$C=AB$$

则 $C$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为：

$$c_{ij}=\text{A 的第 }i\text{ 行}\cdot \text{B 的第 }j\text{ 列}$$

即：

$$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}$$

计算时逐个元素处理：

• $c_{11}$：$A$ 的第 1 行乘 $B$ 的第 1 列；
• $c_{12}$：$A$ 的第 1 行乘 $B$ 的第 2 列；
• $c_{21}$：$A$ 的第 2 行乘 $B$ 的第 1 列；
• 依此类推。

1.3 行矩阵乘列矩阵与列矩阵乘行矩阵

课程举了一个典型例子：

• $A$ 是 $1\times 3$ 的行矩阵；
• $B$ 是 $3\times 1$ 的列矩阵。

则：

$$AB\in {\mathbb{R}}^{1\times 1}$$

结果是一个 $1\times 1$ 矩阵，可看成一个数。

但：

$$BA\in {\mathbb{R}}^{3\times 3}$$

结果是一个 $3\times 3$ 矩阵。

这说明：

矩阵乘法一般不满足交换律

通常 $AB\ne BA$。有时二者阶数都不同，更不可能相等。

1.4 矩阵乘法满足分配律

虽然矩阵乘法一般不满足交换律，但它满足分配律：

$$A(B+C)=AB+AC$$ $$(A+B)C=AC+BC$$

因此：

$$AB+A=A(B+E)$$

这里不能写成 $A(B+1)$，因为矩阵不能直接加普通常数；应写成单位矩阵 $E$。

1.5 单位矩阵

单位矩阵记为 $E$ 或 $I$，主对角线元素全为 1，其余元素全为 0。

二阶单位矩阵：

$$E_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

三阶单位矩阵：

$$E_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

单位矩阵在矩阵乘法中类似数字 1：

$$AE=EA=A$$

2. 抽象型矩阵求逆

2.1 方阵与可逆矩阵

方阵是行数等于列数的矩阵，即 $n\times n$ 矩阵。

对于方阵 $A$ 和 $B$，如果：

$$AB=E$$

或：

$$BA=E$$

则称 $A$ 与 $B$ 互为逆矩阵，记为：

$$A^{-1}=B$$

2.2 凑定义法

课程例题条件为：

$$A^2-A-2E=0$$

要求：

$$(A+2E{)}^{-1}$$

核心思路是：把 $A+2E$ 看成一个整体，设法凑出：

$$(A+2E)\cdot ?=E$$

其中问号部分就是 $(A+2E{)}^{-1}$。

做法概括：

1. 从已知条件 $A^2-A-2E=0$ 出发；
2. 通过恒等变形，凑出因子 $A+2E$；
3. 将剩余常数倍的单位矩阵移到另一边；
4. 把右边化成 $E$；
5. 得到目标矩阵的逆。

课程中最终得到：

$$(A+2E{)}^{-1}=-\frac{1}{4}(A-3E)$$

抽象矩阵求逆的关键

不要试图写出矩阵元素，而是围绕「目标矩阵 × 某矩阵 = 单位矩阵」去凑。

2.3 长除法思路

另一种方法是把矩阵多项式当成代数多项式处理。

已知：

$$A^2-A-2E=0$$

要求 $(A+2E{)}^{-1}$，可用类似多项式除法的方式：

$$A^2-A-2E÷(A+2E)$$

除法结果可表示为：

$$A^2-A-2E=(A+2E)(A-3E)+4E$$

由于左边等于 0，所以：

$$(A+2E)(A-3E)=-4E$$

两边同除以 $-4$，得到：

$$(A+2E)\left[-\frac{1}{4}(A-3E)\right]=E$$

因此：

$$(A+2E{)}^{-1}=-\frac{1}{4}(A-3E)$$

3. 数字型矩阵求逆

3.1 行初等变换法

对于具体数字矩阵 $A$，常用方法是构造增广矩阵：

$$(A\mid E)$$

通过行初等变换，把左边的 $A$ 化成单位矩阵 $E$：

$$(A\mid E)⟶(E\mid A^{-1})$$

当左边变成 $E$ 时，右边原来的单位矩阵就变成了 $A^{-1}$。

操作要求

求逆时对 $(A\mid E)$ 做的是行变换，且每一步必须同时作用在左右两边。

3.2 三阶矩阵求逆步骤

课程中三阶矩阵求逆的大致流程：

1. 写出增广矩阵 $(A\mid E)$；
2. 用行变换把第一列下面的元素消成 0；
3. 继续调整第二列、第三列，制造主对角线上的 1；
4. 再把主对角线上方或下方的非零元素消掉；
5. 左边化为单位矩阵后，右边即为 $A^{-1}$。

本质上就是对左半部分做高斯消元，同时让右半部分同步记录这些变换。

3.3 二阶矩阵求逆：两调一除

对于二阶矩阵：

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

如果：

$$|A|=ad-bc\ne 0$$

则：

$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$

课程把这个方法总结为：

两调一除

两调：主对角线两个元素调换位置，副对角线两个元素变号。
一除：整体除以原矩阵的行列式。

3.4 二阶公式与行变换的关系

二阶矩阵也可以用行初等变换法：

$$(A\mid E)⟶(E\mid A^{-1})$$

最终结果会与「两调一除」完全一致。

这说明「两调一除」是二阶矩阵求逆的快速公式，而行初等变换法是更通用的方法。

4. 可逆的充要条件

一个方阵 $A$ 可逆的充要条件是：

$$|A|\ne 0$$

也就是 $A$ 的行列式不等于 0。

如果 $|A|=0$，则 $A^{-1}$ 不存在。

课程中的解释

二阶公式里 $|A|$ 位于分母，分母不能为 0，所以要求行列式不等于 0。更一般地，方阵可逆当且仅当行列式非零。

5. 做题流程整理

5.1 矩阵乘法题

1. 写出两个矩阵的阶数；
2. 检查内标是否相等；
3. 若不相等，乘积不存在；
4. 若相等，用外标确定结果阶数；
5. 按「前矩阵的行 × 后矩阵的列」逐项计算。

5.2 抽象矩阵求逆题

1. 先确认题目给出的矩阵多项式条件；
2. 明确要求哪个整体矩阵的逆；
3. 从条件出发，凑出目标整体矩阵因子；
4. 整理为「目标矩阵 × 某矩阵 = 单位矩阵」；
5. 读出逆矩阵。

5.3 数字矩阵求逆题

1. 若是二阶矩阵，优先考虑「两调一除」；
2. 先算行列式，确认不为 0；
3. 若是三阶或更高阶矩阵，构造 $(A\mid E)$；
4. 通过行初等变换把左边化为 $E$；
5. 右边即为 $A^{-1}$。

6. 易错点汇总

• 矩阵乘法不是逐元素相乘，而是「行乘列」。
• 判断能否相乘看的是内标，即前一个矩阵的列数和后一个矩阵的行数。
• $AB$ 和 $BA$ 一般不相等，甚至阶数可能完全不同。
• 矩阵不能直接加普通数字，表达式中应使用单位矩阵 $E$。
• 抽象矩阵求逆时，要把目标矩阵看成整体来凑定义。
• 行变换求逆时，只能对增广矩阵做同步行变换，不能只改左边或右边。
• 二阶矩阵用「两调一除」前，必须先确认行列式不为 0。
• 方阵可逆的充要条件是 $|A|\ne 0$。

7. 重点公式速查

矩阵乘法阶数

$$A_{m\times n}{B}_{n\times q}=C_{m\times q}$$

矩阵乘法元素

$$c_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$$

逆矩阵定义

$$AB=BA=E$$ $$B=A^{-1}$$

增广矩阵求逆

$$(A\mid E)⟶(E\mid A^{-1})$$

二阶矩阵求逆

$${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$

可逆条件

$$A\text{ 可逆}⟺|A|\ne 0$$