《线性代数》4 小时速成课（不挂科）向量组的线性相关性字幕总结

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原字幕笔记：向量组的线性相关性
本节主题：数字型向量组的线性相关性、抽象型向量组的线性相关性、向量组的秩与极大无关组。

一句话总结

本讲围绕「向量组是否线性相关」展开：数字型向量组可用比例、行列式或秩判断；抽象型向量组要把复杂向量组写成「简单无关组 × 系数矩阵」，再看系数矩阵是否可逆；向量组的秩和极大无关组则通过行阶梯形确定。

章节脉络

1. 数字型向量组的线性相关性：用成比例、行列式、矩阵秩判断相关或无关。
2. 抽象型向量组的线性相关性：把复杂向量表示为简单向量组与数字矩阵的乘积。
3. 向量组的秩、极大无关组：化为行阶梯形，秩等于非零行数，极大无关组通常取拐弯处所在列。

1. 数字型向量组的线性相关性

1.1 两个向量的判断方法

对于两个向量 ${\alpha }_1$、${\alpha }_2$：

• 若两个向量对应分量成比例，则线性相关；
• 若对应分量不成比例，则线性无关。

几何上，二维向量成比例表示两个向量共线；在线性代数中，这就对应线性相关。

例如：

$${\alpha }_1=(1,2{)}^T,{\alpha }_2=(2,4{)}^T$$

两者对应分量成比例，所以线性相关。

1.2 行列式判断法

如果向量个数和向量维数相同，可以把向量组排成方阵并求行列式。

设：

$$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$$

若 $A$ 是方阵，则：

$$|A|=0\Rightarrow {\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\text{ 线性相关}$$ $$|A|\ne 0\Rightarrow {\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\text{ 线性无关}$$

使用前提

行列式法要求能构成方阵，即「向量维数 = 向量个数」。如果不是方阵，就不能直接用行列式法。

1.3 秩判断法

当向量组不能构成方阵，或者想用更通用的方法时，用秩判断。

把向量组排成矩阵：

$$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m)$$

则向量组的秩就是矩阵 $A$ 的秩。

判断规则：

$$r(A)=m\Rightarrow \text{线性无关}$$ $$r(A)<m\Rightarrow \text{线性相关}$$

其中 $m$ 是向量个数。

口诀

秩等于个数，无关；秩小于个数，相关。

1.4 含参数向量组

对于带参数的向量组，常见做法：

1. 若是两个向量，令对应分量成比例，解参数；
2. 若能构成方阵，则求行列式；
3. 要求线性无关时，令行列式不等于 0；
4. 要求线性相关时，令行列式等于 0；
5. 解出参数并注意排除使行列式为 0 的值。

课程中的例题结论：

• 两个向量相关时，通过对应分量成比例可求得参数 $a=-4$；
• 三个向量无关时，通过行列式不等于 0 得到：

$$a\ne \frac{3}{2},a\ne -4$$

2. 抽象型向量组的线性相关性

2.1 抽象型题目的特点

抽象型向量组题目通常不会给出向量的具体分量，而是给出：

• 原向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性无关；
• 新向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$ 由原向量组线性组合得到；
• 要判断新向量组的线性相关性。

2.2 复杂向量组的矩阵表示

如果：

$${\beta }_1={\alpha }_1+3{\alpha }_2$$ $${\beta }_2=2{\alpha }_1+4{\alpha }_2$$

则可以写成：

$$({\beta }_1,{\beta }_2)=({\alpha }_1,{\alpha }_2)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

这里的数字矩阵由各个 $\beta$ 关于 $\alpha$ 的系数组成：

• 第 1 列是 ${\beta }_1$ 的系数；
• 第 2 列是 ${\beta }_2$ 的系数；
• 依此类推。

2.3 系数矩阵的写法

设：

$$({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)C$$

若：

$${\beta }_1={\alpha }_1-{\alpha }_2$$ $${\beta }_2=2{\alpha }_2-{\alpha }_3$$ $${\beta }_3={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3$$

则系数矩阵 $C$ 的列分别为：

$$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$$

所以：

$$C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ -1& 2& 1\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$$

系数矩阵构造法

每个复杂向量 ${\beta }_j$ 对应系数矩阵的第 $j$ 列；缺少某个 ${\alpha }_i$ 时，该系数写 0。

2.4 用系数矩阵判断相关性

若简单向量组：

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$$

线性无关，并且：

$$({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)C$$

则新向量组的线性相关性由 $C$ 决定：

$$|C|\ne 0\Rightarrow C\text{ 可逆}\Rightarrow {\beta }_1,\dots ,{\beta }_n\text{ 线性无关}$$ $$|C|=0\Rightarrow C\text{ 不可逆}\Rightarrow {\beta }_1,\dots ,{\beta }_n\text{ 线性相关}$$

课程总结为：

抽象向量组判断口诀

无关组乘以可逆矩阵，仍是无关组；无关组乘以不可逆矩阵，得到相关组。

2.5 例题思路

题目已知简单向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，复杂向量组可写成：

$$({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)C$$

只需要：

1. 根据各 ${\beta }_i$ 的系数写出 $C$；
2. 计算 $|C|$；
3. 若 $|C|\ne 0$，说明 $C$ 可逆；
4. 因为原向量组无关，所以复杂向量组也无关。

课程例题中 $|C|=-1\ne 0$，因此复杂向量组线性无关。

3. 向量组的秩与极大无关组

3.1 向量组的秩

向量组：

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m$$

的秩，等于矩阵：

$$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m)$$

的秩。

求法是把矩阵 $A$ 通过行初等变换化为行阶梯形，数非零行数。

$$r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)=r(A)$$

3.2 行阶梯形与非零行

行阶梯形的特点：

• 每一行首个非零元素逐行向右移动；
• 阶梯下面全为 0；
• 零行放在下方；
• 非零行的个数就是矩阵的秩。

因此：

$$r(A)=\text{行阶梯形中非零行的个数}$$

3.3 极大无关组的求法

极大无关组的向量个数等于向量组的秩。

课程给出的常用取法：

1. 把向量组作为列向量排成矩阵；
2. 对矩阵做行初等变换，化为行阶梯形；
3. 找阶梯形中「拐弯处」所在的列；
4. 原向量组中对应这些列的向量组成一个极大无关组。

对应原向量，不是变换后的向量

行变换后的矩阵只用于判断列位置；最终写极大无关组时，要回到原向量组中取对应列的原向量。

3.4 例题结论

课程例题中，向量组组成的矩阵经过行变换后有 2 个非零行，因此：

$$r(A)=2$$

所以极大无关组含有 2 个向量。

阶梯形的拐弯处在第 1 列和第 2 列，因此通常取：

$${\alpha }_1,{\alpha }_2$$

作为一个极大无关组。

极大无关组不唯一

极大无关组可能有多个，但用阶梯形拐弯处所在列来取，是最常用、最稳定的做法。

4. 做题流程整理

4.1 数字型向量组相关性

1. 如果只有两个向量，先看对应分量是否成比例；
2. 如果能构成方阵，优先用行列式；
3. 行列式等于 0，则相关；行列式不等于 0，则无关；
4. 如果不能构成方阵，或想用通用方法，则化矩阵求秩；
5. 秩等于向量个数，则无关；秩小于向量个数，则相关。

4.2 含参数向量组

1. 明确题目要求相关还是无关；
2. 能用比例就列比例方程；
3. 能用行列式就构造行列式；
4. 相关对应行列式为 0；
5. 无关对应行列式不为 0；
6. 解参数后注意排除特殊值。

4.3 抽象型向量组

1. 确认原简单向量组是否线性无关；
2. 把复杂向量组写成简单向量组乘系数矩阵；
3. 按列写出系数矩阵；
4. 计算系数矩阵行列式；
5. 行列式非零，则复杂向量组无关；
6. 行列式为零，则复杂向量组相关。

4.4 秩与极大无关组

1. 把向量组作为列向量排成矩阵；
2. 用行初等变换化为行阶梯形；
3. 数非零行，得到向量组的秩；
4. 找阶梯拐弯处所在列；
5. 回到原向量组，取对应列的向量作为极大无关组。

5. 易错点汇总

• 两个向量是否相关，看对应分量是否成比例，不是只看某一个分量。
• 行列式法只能用于能构成方阵的向量组。
• 向量组的秩要和向量个数比较：等于个数无关，小于个数相关。
• 含参数题要特别检查让行列式为 0 或主元为 0 的参数值。
• 抽象向量组中，系数矩阵的每一列对应一个复杂向量的系数，不要写成行。
• 原向量组必须已知线性无关，才能直接用「系数矩阵可逆 / 不可逆」判断新向量组。
• 极大无关组取的是原向量组中对应列的向量，不是行变换后的列向量。
• 极大无关组不唯一，但个数一定等于向量组的秩。

6. 重点公式速查

行列式判断线性相关性

$$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n|=0\Rightarrow \text{线性相关}$$ $$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n|\ne 0\Rightarrow \text{线性无关}$$

秩判断线性相关性

$$r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)=m\Rightarrow \text{线性无关}$$ $$r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)<m\Rightarrow \text{线性相关}$$

抽象向量组表示

$$({\beta }_1,\dots ,{\beta }_n)=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)C$$

抽象向量组判断

若 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 线性无关，则：

$$|C|\ne 0\Rightarrow {\beta }_1,\dots ,{\beta }_n\text{ 线性无关}$$ $$|C|=0\Rightarrow {\beta }_1,\dots ,{\beta }_n\text{ 线性相关}$$

向量组的秩

$$r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m\text{ 构成的矩阵})$$

极大无关组

$$\text{极大无关组所含向量个数}=r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)$$