简介
应广大同学们的要求，老师又新上传了《高等数学（上）》、《高等数学（下）》、《概率论与数理统计》的速成课，快去看看吧。另外，如果可以的话，请同学们多多分享！ 配套电子讲义、章节练习题：在置顶评论区有获取方法
章节
00:00矩阵的乘积12:15抽象型矩阵求逆20:24数字型矩阵求逆
字幕
矩阵的乘积 00:00
00:04 好同学们大家好
00:06 今天我们来学第二章矩阵
00:12 首先我们来介绍三种体系
00:17 其中第一种题型矩阵的乘法
00:22 此处我们假设a是一个2x2的矩阵
00:28 两行两列
00:30 b呢是一个2x3的矩阵
00:34 两行三列
00:37 那么当我们要求乘b的时候呢
00:42 这两个句子的乘积会等于什么呢
00:47 代入a b c d乘以e f g h m n
00:55 这样两个矩阵相乘
00:58 指出我们规定a乘b呀
01:02 最后的结果是什么呢
01:04 结果是一个二行三列的句子
01:11 取前面矩阵的函数
01:14 取后面句子的列数
01:17 得到了一个2x3的矩阵
01:21 即为c矩阵
01:25 即为c矩阵
01:27 那词组2x3的矩阵是不是有c11 c12
01:34 c13
01:35 c21
01:37 c22
01:39 c23
01:42 一共有六个元素
01:44 两汉三列的矩阵
01:47 那这个c11 应该等于什么
01:49 c22 应该等于什么呢
01:51 以及c13 等等等等
01:55 好我们先来看c11 c1
01:59 我们规定同学们
02:02 c e e应该等于a矩阵的第一行
02:06 两个元素乘以b矩阵的第一列
02:11 这样两个元素啊对应相乘
02:15 再相加
02:17 也就是所谓的a乘e
02:23 加上b乘h
02:26 那么此处的c e2 应该等于什么呢
02:30 应该等于a矩阵的第一行乘以b矩阵的第二列
02:37 对应元素相乘
02:38 再相加
02:40 也就是我所谓的a乘f加上b乘m
02:47 同理c13
02:50 c e3
02:51 将会等于a矩阵的第一行乘以b矩阵的第三列
02:57 也就是得到了
03:01 a乘积加上b乘n
03:04 此处的c21 等于a矩阵的第二行
03:10 乘以b矩阵的第一列
03:18 也就是说c乘以加上d乘h
03:26 cr当然会等于a矩阵的第二行
03:31 乘以b矩阵的第二列
03:34 也就是所谓的c乘f加上d乘m c23
03:43 a矩阵的第二行乘以b矩阵的第三列
03:50 也就是说c乘积加上d乘n
03:54 这样我们的矩阵c就得到了
03:58 此处要注意两个矩阵它之所以相乘
04:03 它有一个前提
04:04 也就是说矩阵相乘的合法性是看什么呢
04:08 这个要求啊
04:10 内标相等
04:12 所谓的类标就是两个矩阵相乘
04:14 这个二和这个二是相等的
04:19 因为它是在内部吗
04:22 a的列和b的行是在两个矩阵乘积的
04:28 靠里面的下标
04:30 所以叫内标
04:32 外标呢外表是2x3
04:35 是不是也就是我的结果是谁呀
04:38 矩阵相乘的结果是前面矩阵的函数
04:42 后面矩阵的列数
04:44 也就是所谓的外表
04:49 好这是方法来我们来看例题
04:52 a矩阵是3x4的矩阵
04:55 b呢是4x2的矩阵
04:58 现在我要求a乘b
05:02 a是3x4
05:05 b 14乘二
05:07 这两个矩阵能不能相乘啊
05:12 a的列和b的函数相等的
05:15 也就是所谓的内标相等
05:18 内标相等
05:21 两个矩阵可以相乘啊
05:24 乘出来的结果应该等于前面矩阵的行三乘以
05:31 后面矩阵的列结果是3x2的
05:35 三行二列的
05:39 也就是说c最终是一个3x2的矩阵
05:45 那么它将会有六个元素c11
05:51 12c21 c22331332
06:02 此处的c11
06:05 当然会等于前面句生的第一行乘以
06:09 后面矩阵的第一列对应元素相乘再相加
06:15 c2 呢当然会等于前面矩阵的第一行乘以
06:21 后面矩阵的第二列
06:23 这四个元素对应的相乘再相加
06:28 其他的也是一样啊
06:32 前面矩阵的行乘以后面矩阵的列
06:35 比方说我最后再说一个c2 a c32 c32
06:39 当然会等于前面矩阵的第三行乘以
06:44 后面矩阵的第二列对应元素相乘再相加好
06:50 我把这个过程给大家展示一下
06:55 先看c e e c
06:58 一一应该是第一行的元素乘以第一一列的元素
07:03 也就是4x1加上-1乘零
07:06 加上2x3
07:08 加上一乘-1
07:11 c12 等于第一行乘以第二列
07:16 也就是4x2加上-1x1+2x0
07:21 加上1x2嗯
07:23 c21 cr等等等等
07:28 我给大家展示一下
07:33 最终结果等于
07:37 三行两列的一个矩阵好
07:41 这是这个例题
07:42 我们再来一道例题
07:46 假设a是一个一行三列的矩阵
07:51 是一个含矩阵
07:55 b是一个3x1列的矩阵
07:57 是一个列矩阵
07:59 有两问
08:00 先求a b再求b a先来看第一问
08:07 ab能不能相乘
08:09 先看内标相不相等
08:12 a的列等于b的行当然是相等的
08:18 那咱们就可以相乘
08:20 最终结果会等于什么
08:22 最终结果会等于1x11吗
08:26 前面矩阵的行和后面矩阵的列
08:29 最终结果是1x1的
08:31 什么样的
08:32 1x1就是第一行的元素乘以第一列的元素吗
08:37 是不是1x3+2x2+3x1
08:42 最后结果是11x1的句子其实就是一个数啊
08:48 我们把它记为十好
08:52 这是
08:55 a乘b我们再来看一下b乘a
09:00 b乘a能不能相乘
09:02 列表相不相等
09:04 b的列等于a的行吗
09:06 这个是相等的
09:07 类标相等
09:08 可以相乘
09:09 最终结果等于什么
09:11 最终结果会等于3x3
09:16 等于一个列矩阵乘以一个含矩阵
09:20 那这个3x3的应该等于什么呢
09:22 3x3的矩阵
09:24 你这个3x1怎么来的
09:26 是不是等于第一行乘以第一列呢
09:28 是不是
09:31 那这个3x2是怎么来的呢
09:33 当然等于第一行乘以第二列了
09:36 同样的道理
09:37 3x3
09:38 那不就应该等于第一行乘以第三列吗
09:43 对不对
09:44 哎就按照我们的乘法的定义啊
09:50 可以得到这样
09:52 最后得到一个3x3的矩阵
09:56 结果是三六九二十六一二三
10:01 此处我们会发现一个问题
10:03 这个a乘b是一个数
10:06 a乘b是一个数
10:08 b乘a是一个矩阵
10:10 3x3的矩阵
10:12 于是我们可以得到这样的小结
10:15 第一条矩阵的乘法是不具有什么呢
10:20 不具有交换律的
10:23 a乘b v b等于b乘a
10:27 那本题的a b是一个数吗
10:29 是等于十的
10:31 b a是一个矩阵
10:32 3x3的一个矩阵
10:34 怎么可能相等呢
10:36 是不是好嘞
10:48 但是他满足什么呢
10:50 他是满足分配率的
10:52 也就是说
10:53 a乘b加c可以等于a乘b加上a乘c
11:01 这是所谓的乘法
11:03 分配率是可以满足的
11:06 同学们举个例子来说
11:08 我们要求a乘括号b加一
11:11 可以先求a乘b再求a乘一
11:15 最终结果会等于ab加a
11:21 反过来也就是说ab加a
11:24 ab加a可以提一个a这样一个公共因子
11:29 剩下的是b加什么呢
11:31 b加一呢
11:33 还是b加e呢
11:34 我们讲b是一个矩阵
11:37 你加一个常数是不能加的
11:39 所以应该把这个一写成什么呢
11:42 单位矩阵
11:44 比方说单位矩阵
11:46 我写个例子啊
11:47 就是e等于什么呢
11:49 等于1001
11:52 这是一个二阶单位矩阵
11:55 如果是这个e等于100010001呢
12:03 这是一个几阶单位矩阵
12:05 三阶单位矩阵
12:07 3x3的单位矩阵好
12:11 这是矩阵的乘法
抽象型矩阵求逆 12:15
12:16 第二种题型我们要求一下抽象矩阵的逆矩阵
12:23 以一个例题为例
12:25 假设有一个
12:27 反正a它满足a平方减a减21=0
12:35 下面我们要求a加2e的括号的-1次幂
12:40 -1次幂就是求力的意思啊
12:44 逆矩阵是吧
12:45 求利的意思
12:49 方阵指的是什么
12:50 反正就是函数等于列数m乘n
12:55 那不是反正只有当m等于n的时候
12:58 也就是所谓的n乘n的矩阵
13:01 比方说是n乘n的矩阵
13:04 它就是一个
13:04 反正好
13:06 我们先来分析一下什么叫可逆矩阵呢
13:13 有这样的定义啊
13:14 对于方正a和b而言
13:17 如果ab的层级等于e等于单位阵
13:21 或者是b a的乘积等于
13:24 此时我们则成了a b互为逆矩阵
13:31 记为a的-1次幂等于b b的-1次幂等于好
13:39 作为本题
13:40 我们要求a加2e的-1次幂
13:43 也就是求a加2e的逆方法
13:47 一凑定义法
13:50 我们要将a加二一看成一个整体
13:53 a加r一看成一个整体矩阵
13:56 这个整体矩阵乘以一个什么样的矩阵
13:59 会等于单位阵呢
14:02 这个时候我们把这个问号啊给他凑出来
14:06 如果能够凑出来这个问号矩阵
14:09 问号矩阵乘以a加二一
14:12 这个整体等于单位阵
14:14 我们就说这个问号矩阵
14:16 它恰恰就是a加r一的-1次幂
14:22 如何来凑这个问号矩阵
14:25 从条件出发
14:29 条件是a平方减a减21=0
14:34 我们要凑一个a加2e怎么办呢
14:37 我就想办法呀
14:39 a平方需要一个什么
14:41 可以得到a加二一
14:43 这个因子呢
14:45 需要一个2a所以此处我们将负a变成什么
14:52 将负a变成2a减3a也就是负a的意思了
15:00 这样a平方加2a就可以提出一个因子
15:04 a加二一啊
15:07 注意是恒等变形了
15:08 负a变成2a减3a好继续往后推
15:15 a平方加2a可以提出一个2a加二一
15:20 再乘以a好嘞
15:25 剩下了一个-3 a-3 a和c结合
15:30 可以得到整体a加2a呢需要一个负的六一
15:38 于是我们把负的六一我再加一个谁正的六一
15:44 这样是不是恒等变形本身有一个几
15:47 本身有一个负的二一
15:50 我们照抄这样-3 a减去六倍的e
15:56 它就可以凑出因子a加二一来
16:01 怎么抽出来的
16:03 这样你提出一个三
16:05 那不就是三乘以a加二一了吗
16:10 继续往后走
16:11 此处的这个4e可以移到等号的右边
16:16 变成-4 e
16:18 而前面两项有公因子a加2e可以提出来
16:24 剩下的是a减三一
16:27 指数离我们的这一个问号矩阵已经非常接近了
16:34 但是我们的右边要求是单位矩阵e现在的单位
16:38 现在的右边是-4倍的e
16:41 那我需要把-41除到左边来
16:45 除到左边来
16:48 结果是a加二一乘以-1/4
16:51 a减二
16:52 e等于单位矩阵
16:54 这不就是我的问号矩阵整体吗
16:59 同学们
17:00 于是我们可以退出a加二一的-1次幂
17:07 等于什么-1/4 a减三一好
17:13 这是这一个方法
17:14 接下来我们讲一个初等数学的方法
17:18 来求矩阵的-1次幂啊
17:21 也就是所谓的长除法
17:25 同学们想想看啊
17:26 在初等数学当中我们学过
17:29 比方说我们要求35÷8
17:37 它显然会等于什么
17:39 345÷8
17:42 可以上一个448
17:45 342
17:45 结果余几嘞余三
17:49 所以345÷8啊
17:52 应该等于
17:56 一个三嘛
17:58 也就是说我们可以得到345
18:01 它可以等于什么呢
18:03 可以等于8x4
18:07 再加上这是同学们在小学都学过的一个除法
18:12 那么此处我们可不可以把它推广到矩阵里面
18:16 已知a平方减a减2e这个条件它是等于零的
18:23 那要求a加2e的-1次幂
18:26 那我就用平方减a减2e直接除以谁呢
18:33 a加二
18:34 这次我们要在上面删一个几嘞
18:38 上一个a不就可以了吗
18:41 好a乘a得a平方
18:43 a乘二一得2a a平方减a平方
18:48 那消掉了那负a减2a那不是几a
18:55 那不应该是-3 a吗
18:58 再把负的2e比下来
19:02 变成-3 a减二一
19:04 此处我们再要上一个积累
19:07 上一个-31
19:11 -31乘以a是不是就应该等于-3 a了
19:15 -3 a乘以二一
19:17 那不就等于-6 e吗
19:23 同学们-3 a和-3 a抵消
19:27 剩下的是-21
19:31 -61结果等于
19:36 于是我们讲被除数应该等于什么
19:39 被除数应该等于除数乘以三
19:45 在加余数吗
19:47 那不就得到了a平方减a减二
19:51 e这样一个被除数等于除数乘以三
19:55 再加上一个余数来
19:58 但是有条件a平方减a减二一
20:02 条件当中已经告诉你它等于零
20:04 也就是右边这个表达式是等于零的
20:08 这个式子和我方法一当中的这一项
20:11 是不是非常的像呢
20:14 对不对
20:15 同学们
20:16 所以以下同法益即可好
20:20 这是抽象矩阵求-1次幂
数字型矩阵求逆 20:24
20:24 如果是数字型矩阵求复一次命了
20:27 有这样一个例题
20:29 a是一个三阶矩阵
20:31 3x3的矩阵
20:32 要求它的逆矩阵a的-1次幂
20:37 先分析一下
20:40 我们要利用一种方法叫做行变换法
20:45 又叫做含初等变换法
20:47 要求a的-1次幂
20:50 他其实就是将a杠一这样一个分块矩阵
20:55 经过多次的行变化
20:58 变成
21:01 杠a的-1就是当a的部分
21:05 当a的部分变成e的时候呢
21:08 相应的e这一个单位矩阵就会变成a的负
21:14 一次幂
21:15 只需要经过多次的含变换即可
21:20 同学们
21:25 首先我们把a和e这样两个矩阵写到一起
21:31 a杠一右边是一个3x3的单位矩阵
21:36 左边是a吗
21:37 首先我们做个什么变换
21:39 做行变换
21:41 把第二行减去第一行
21:43 第三行也减去第一行
21:45 这样的331下就消成零了
21:49 相应的后面的两个元素也要换
21:52 相应的这个后面的三个元素也要进行变化好
21:57 那就会变成
22:00 第一行不变
22:01 321100是吧
22:03 第二行变成零-14-1110
22:09 第三行变成002 -10
22:16 此处我们我们的目标是什么
22:19 我们的目标是要将整个左边这一小块呀
22:23 变成所谓的单位矩阵
22:26 变成100010001这样的单位矩阵
22:35 那我们怎么办呢
22:36 接下来我们将要做这样一个变化
22:40 把第一一行啊加上第二行的两倍
22:44 这样可以把指数的二削成零了
22:48 咱们继续继续做变化
22:53 第二行乘以-1倍
22:57 第三行除以二
22:59 第三行除以二
23:00 就是第三行乘以1/2
23:03 目的是什么
23:04 将这个二变成一吗
23:06 第一行第一行这个地方是三
23:09 那怎么把这个三变成一呢
23:11 第三第一行
23:13 那么再除以一个三就行了
23:15 也就是乘以1/3嘛
23:18 得到右边这样一个分块矩阵
23:22 下面再将指数的复式和第一行的三消成零
23:29 当然也就只需要把第一行减去第三行的三倍
23:37 第二行加上第三行的四倍即可
23:41 这不恰好是一个单位矩阵吗
23:44 那相应的右边这一个块恰好就是谁呢
23:50 恰好就是a的-1次幂
23:54 这是三阶矩阵
23:56 求-1次幂的方法
23:58 利用到的是含变换法
24:02 再来一个例子
24:03 这个例题是二阶矩阵
24:07 我们要求它的-1次幂
24:10 指出我们要给一个经典的秒杀方法
24:15 二阶矩阵的-1次幂的秒杀法是两调一除
24:21 先看一般的二阶矩阵
24:23 一般的二阶矩
24:24 二阶矩阵是四个元素a b c d吗
24:27 并且要保证a行列式非零
24:30 也就是a d减去b c不等于零呢
24:35 则a的-1次幂应该等于什么呢
24:40 所谓的两调一除
24:44 两调指的是主对角线的两个元素啊
24:49 给他调换位置变成dd变成da还有一条呢
24:58 还有一条就是把辅对角线的两个元素
25:03 b c符号变成负的
25:08 变成负b和副c
25:11 这就是所谓的两调
25:14 还有1÷1除
25:16 就是整个这样一个量调以后再除以行列式
25:23 除以a的行列式
25:24 你现在明白为什么a的行列式不能等于零的吗
25:28 因为a的行列式是在分母上面吗
25:31 分母非零才有意义好那么我们来看方法一
25:38 要求a的-1次幂
25:41 我们用两调一除了方法
25:44 首先检验一下a的行列式是否非零
25:46 a的行列式等于一
25:48 1x2-4乘-1得六
25:51 它不等于零
25:52 既然不等于零
25:53 两调一除a的-1次幂应该等于一二的位置
25:58 调换成二一
26:02 那副对角线上的四变成什么
26:04 四就会变成-4
26:07 负对角线的-1呢就会变成一吗
26:11 所以二阶矩阵a的-1次幂就这样求出来了
26:16 那我们可不可以用另外一个方法
26:19 也就是刚刚求三阶矩阵的-1次幂的方法
26:23 含变方法呢我们说也是可以的
26:27 也就是将这样一个分块矩阵a干e这是a
26:34 这是e啊
26:36 这是e只需要把a的所对应的位置啊
26:39 这四个元素变成单位矩阵1001
26:43 那相应的1001就会变成a的-1
26:47 是不是同学们
26:51 显然如何将左边这一块变成单位矩阵
26:55 那只需要把第一行的一倍往下一加吗
27:02 变成14100611
27:07 继续再把第二行要除以一个六变成一
27:14 是不是同时把这个四削成零
27:17 这个是怎么消成零
27:18 是不是将这个六的多少倍
27:21 将这个六的-2/3倍
27:23 加到这个地方的四就可以了
27:25 相应的就应该是第二行的-2/3倍
27:30 加到第一行
27:32 最终我们会变成这样一个结果
27:34 果然把左边这一块变成了单位矩阵e
27:38 那相应的右边e的地方就会变成a的-1次幂
27:44 这个结果刚才用到的两调一除的方法
27:50 是不是一模一样的
27:52 这个1/6可以乘进来啊
27:54 乘进来是多少
27:55 1/6乘以每一个元素
27:57 恰好是1/3负的2/3
28:00 1/6
28:01 1/6
28:02 一个数乘以矩阵
28:04 相当于每一个元素
28:06 每一个元素都要乘以这个数吗
28:08 这个要小心一点
28:10 所以最后用结果
28:11 最终结果是一样的
28:15 最后有一个小结
28:17 一个方阵a可逆啊
28:20 就是a的-1次幂存在的充要条件是什么呢
28:24 a行列式不等于零
28:26 a行列式为什么不等于零
28:28 就是因为它是分母吗
28:30 分母非零才有意义
28:35 好同学们
28:37 这是矩阵的第一讲