简介
应广大同学们的要求，老师又新上传了《高等数学（上）》、《高等数学（下）》、《概率论与数理统计》的速成课，快去看看吧。另外，如果可以的话，请同学们多多分享！ 配套电子讲义、章节练习题：在置顶评论区有获取方法
章节
00:00数字型向量组的线性相关性10:27抽象型向量组的线性相关性18:48向量组的秩、极大无关组的求法
字幕
数字型向量组的线性相关性 00:00
00:00 好同学们大家好
00:03 我们今天来看第三章
00:05 向量组的线性相关性
00:07 主要就会讲三种题型
00:09 第一种题型判别向量组的线性相关性
00:13 主要是指数字型的向量组的线性相关性
00:17 比方说有这样一道题
00:18 求下列向量组的相关性
00:20 有两个小题啊
00:22 好为了做这一道题呢
00:24 同学们要知道这些小小的知识点
00:27 两个向量阿尔法一与阿尔法二
00:30 线性相关的充要条件是什么呢
00:32 阿尔法一与阿尔法二它的分量对应要成比例啊
00:37 你比方说阿尔法1=12
00:39 阿尔法2=20
00:41 这两个向量它的分量是一比二
00:44 一比二对应成比例
00:46 那么我们就说它是线性相关的
00:49 这两个向量线性相关的
00:52 在几何上我们也知道一个向量它的分量是一二
00:57 这个叫阿尔法一向量
00:58 阿尔法二是二四
01:00 那是不是平行的
01:02 平行在几何上
01:04 那就叫共线共线
01:06 在线性代数里面就叫线性相关好不好
01:09 同时我们还会发现这两个向量线性相关
01:13 你会发现阿尔法一阿尔法二构成的行列式
01:16 它是不是应该是1224
01:18 这个行列式等于什么
01:20 主对角线减去副对角线恰好等于零啊
01:24 同学们
01:25 也就是说一个向量组
01:28 一个向量组的线性相关
01:31 还可以用行列式来算
01:34 如果行列式等于零
01:36 它也是线性相关的
01:38 当然行列式有个前提
01:39 他必须是能够构成行列式
01:42 必须是函数等于列数
01:43 也就是方正好
01:45 这是第一个知识点
01:47 我们再看第二个
01:48 如果是多个变量
01:50 阿尔法一
01:51 阿尔法二阿尔法m一共有m个啊
01:53 一共有m个向量
01:54 它相关的重要条件是什么
01:56 我们把二维的两个向量的情况推广到m啊
02:01 推广到m行列式如果等于零
02:03 那就是相关
02:04 如果不等于零的行列式不等于零
02:06 那就是无关嘛
02:07 是不是
02:08 当然除了用行列式的方法
02:12 还可以用质的方法
02:13 因为有有有的向量组它不可以构造成行列式呀
02:18 它的函数不等于列数
02:19 那就要用另外一个方法
02:21 用字的方法啊
02:23 用向量组的秩秩
02:25 向量组的秩就是这个矩阵构构成的阿尔法一
02:28 阿尔法二
02:29 阿尔法m构成的矩阵的秩
02:31 矩阵的秩我们在第二章第二章讲过啊
02:34 如果这个矩阵的秩小于它的列数
02:38 那么一定是线性相关的
02:40 如果向量组的秩等于什么
02:44 等于向量组的个数的话
02:47 嗯那就是无关好
02:49 这个要注意注意了
02:50 这个字等于个数无关
02:53 小于个数相关好
02:56 我们看第一个
02:58 先看方法一
02:59 阿尔法一
03:00 阿尔法二显然是不成比例的
03:02 为什么它是二比-1呀
03:05 五比三啊
03:07 它不成比例的
03:08 不成比例则无关了
03:10 两个向量可以用乘比例与否
03:13 来判断它是否牵挂啊
03:16 好这是方法一
03:18 方法二呢我们还可以用行列式方法
03:21 阿尔法一
03:22 阿尔法二可以构造成行列式
03:23 因为它恰好是两行
03:25 两列函数等于列数
03:27 这样一个行列式
03:28 显然等于主对角线减去副对角线相乘嘛
03:32 是不是结果等于11啊
03:35 11不等于零
03:37 既然行列式不等于零
03:38 这样行列式如果不等于零
03:40 那一定是无关啊
03:42 同学们好
03:43 这是分号二
03:45 当然我也可以用字的方法啊
03:47 因为有的时候有的题啊
03:50 行列式做不了
03:51 那就要用字啊
03:52 那向量组的秩就是等于矩阵的秩
03:55 等于这个矩阵的秩
03:56 矩阵的秩怎么求
03:58 是不是要把这个矩阵化成阶梯形的啊
04:02 化成行阶梯形
04:03 也就是将第一行的-5/2倍
04:07 加到第二行就可以了
04:10 使得这个五使得这个五变成零
04:13 相应的三就会变成11/2了
04:16 哎
04:17 -1的-5/2倍加到d这个三
04:20 这个元素上等于21/2了
04:23 好各位同学
04:25 这是一个阶梯性
04:26 那么一共有多少个非零行呢
04:29 显然等于两个非零行
04:32 两个非零行字就是二呀
04:34 这等于二二恰好是向量的个数
04:37 有两个项链吗
04:39 等于向量的个数
04:41 那么则线性无关啊
04:43 这个非常简单
04:44 那我们再看第二小题
04:47 第二小题是三个向量
04:49 三个向量的线性相关系
04:52 首先第一个方法用行列式法
04:54 因为它恰好可以写成一个行列式
04:56 三行三列函数等于列数
04:58 就可以用行列式法
05:00 那这个行列式怎么算的
05:02 同学们
05:02 你看一下
05:03 你可以做行变化
05:04 也可以做列变化
05:06 显然这个题做列变化要简单
05:09 为什么第二列首元素已经是等于零了
05:13 你只需要把第三列的首元素-1削成零
05:16 是不是把第一列加到第三列就可以了
05:20 这个-1就会变成零吗
05:21 是不是把第一列加到第三列
05:25 -1变成零
05:26 相应的这个地方的零就会变成负
05:29 是不是相应的这个o就会变成五了
05:33 好我们继续这样一个行列式
05:37 我们可以按照第一行展开
05:39 也可以用拉普拉斯左上角乘以右下角的分块
05:43 行列式啊
05:43 也有都可以了
05:45 也都可以了
05:46 好恰好这个行列式等于什么呢
05:49 零行列式等于零
05:52 我们说行列式如果等于零
05:54 那一定是相关啊
05:55 同学们是不是
05:57 所以我们就可以推出阿尔法一
05:59 阿尔法二
06:00 阿尔法三是相关的好
06:03 这是用行列式的方法
06:05 接下来我们再用字的方法看一下
06:08 也就是要看这个矩阵阿尔法阿尔法阿尔法三啊
06:12 写到一个矩阵里面
06:14 看它的字
06:16 这个时候求知的话
06:17 是不是应该可以把第一行的二倍加到第二行
06:22 把第一行的-2倍加到第三行
06:26 这样的话-2和三就可以消成零
06:29 进而可以接近于咱们的阶梯型吗
06:33 好我们走一下
06:34 那么果然-2和12变成了零
06:38 好它还不是阶梯性
06:41 那这个时候我们会发现
06:42 第二行和第三行的元素是不是二比-5啊
06:47 二比-5是不对应成比例的
06:49 直接把第三行写成零就可以了
06:53 诶
06:53 也就是说其实它的变化过程
06:56 就是把第二行的5/2倍加到第三行
06:59 使得第三行变成零嘛
07:01 全部是零啊
07:02 这两个元素全是零
07:03 这样的话我们会发现它就变成了一个阶梯形了
07:07 是不是就变成了一个阶梯形
07:08 所谓阶梯性
07:09 就是保证你的阶梯的下面的元素全部是零元素
07:13 是不是全部是零元素
07:15 好显然他这样一个矩阵当中有几个非零行啊
07:20 非零函数有两行
07:22 所以这个矩阵的秩就是几字
07:25 就是二秩等于二
07:28 但是它有三个向量
07:30 三个向量组
07:31 三个向量构成的向量组的秩等于二
07:34 比个数要小
07:35 比向量组的个数要小
07:37 那么有刚才的结论是吧
07:40 诶向量组的秩如果比个数要小
07:43 一定是相关啊
07:45 同学们好
07:46 这是第一个题
07:47 我们再看第二个题
07:49 这个题有一个特点
07:50 就是它带有参数是吧
07:52 你看阿尔法一阿尔法二
07:54 阿尔法三当中都带有a a是一个参数
07:58 要讨论当a等于和十的时候
08:01 阿尔法一阿尔法和相关a等于合适的时候
08:04 阿尔法一阿尔法
08:05 阿尔法三线性无关
08:07 这个就比数字形稍微难一点好
08:09 我们往后走
08:10 两个向量相关说明什么问题
08:13 那就说明两个向量的分量对应成比例吗
08:17 那是不是应该是六和a相比诶
08:22 等于a加一比三
08:24 2=3比三-2呢
08:27 是不是对应成比例是这个意思
08:29 当然可以求出a等于几类-4了
08:32 同学们好
08:34 那么三个向量如果无关呢
08:36 第二题三个向量无关
08:38 那我用行列式法
08:40 因为这三个向量恰好是a3 维的
08:43 他协议可以写成一个行列式
08:45 行列式不等于零
08:47 就是无关的
08:48 也就是这样一个行列式
08:50 它是不等于零的
08:51 那这样一个行列式该如何计算
08:53 注意它是带有参数的
08:55 带有参数的a他不是很好算
08:58 不是很好算
08:59 我们看一下在第三列当中已经有一个零了
09:02 如果能够把这个a换成零
09:04 再按照第三列展开不就可以了吗
09:07 怎么把这个a元素化成零呢
09:08 是不是把第二行的这个e的负a倍
09:11 加到第一行就可以了
09:14 是不是
09:14 同学们
09:15 所以我们做行变化啊
09:17 做行变化
09:18 把第二行的负a倍加到第一行
09:22 这个a就会变成零的啊
09:24 这个a就会变成零
09:25 相应的这个a这个a元素就会变成负a啊
09:29 变成负a相应的这个六
09:32 你注意啊
09:33 相应的这个六就应该等于负a的平方
09:36 减a加六了
09:38 因为是降低二行的元素
09:40 整个所有的元素都要乘以什么都要乘以
09:43 咱们的负a加到第一行好不好
09:47 要小心一点
09:48 好这样一个行列式该如何计算
09:51 这个第一这个一元素是不是第二行的
09:54 第三列的元素
09:55 所以应该等于一元数乘以它的代数余子式
10:00 这个代数余子式会有一个-1的二
10:02 加三次幂次出现
10:03 也就是-1啊
10:05 这个二阶行列式等于主减负嘛
10:07 最终结果可以得到这样的式子
10:10 负的2a减三乘以a加四
10:13 注意刚才我们说这个无关的话
10:16 要求行列式不等于零
10:18 也就是这个不等于零
10:19 这个不等于零
10:20 就是a不等于3/2
10:23 企业a不等于-4吗
10:25 好我们再看第二种题型
抽象型向量组的线性相关性 10:27
10:27 判别向量组的线性相关性
10:29 这个是抽象性
10:31 刚才讲的是数字型的是吧
10:34 所谓抽象性就是数
10:35 它不告诉你阿尔法一的分量诶
10:39 阿尔法二阿尔法三
10:40 他不告诉你
10:41 它的分量到底是等于哪几个数字构成
10:44 他直接说这个向量组是线性无关的
10:47 那问这个复杂向量组的线性相关性啊
10:52 那怎么做呢
10:54 他没有告诉你阿尔法一阿尔法
10:55 阿尔法三
10:56 它到底是由哪些数字数构成的
10:59 直接说信息相关还是线性无关
11:01 好此处我们做一个小小的分析
11:04 第一个抽象向量组的表示方法
11:07 同学们要学会了
11:08 那我问你这两个矩阵相乘
11:10 你会吗
11:11 一个向量组构成的矩阵
11:13 乘以另外一个数字型矩阵
11:16 各位同学你能看懂吗
11:17 就是它是一个一行两列的
11:20 它是一个是两行两列的
11:22 算下来应该是几
11:23 算下来是不是应该等于诶
11:25 诶一行两列的前行
11:27 后列是不是是第一个第一行两列的啊
11:31 一行两列的第一个元素
11:32 是不是应该等于第一行乘以第一列
11:34 那是不是阿尔法1+3倍的阿尔法二啊
11:38 这是第一个元素
11:39 第二个元素是不是应该等于什么
11:41 第二个元素是不是等于第一行乘以第二列呢
11:44 那就是二倍的阿尔法1+4倍的f2
11:48 也就是等于这样一个阿尔法1+3倍阿尔法
11:52 阿尔贝阿尔法1+4倍阿尔法二
11:55 各位同学能看懂吗
11:56 此处我们要讲讲逆向思维啊
11:59 呃逆向设备
12:01 如果我把后面的这个表达式
12:03 右边的这个表达式
12:05 这个复杂的这个复杂的向量啊
12:08 它实际上是两个向量啊
12:09 这个地方可以写成贝塔一
12:10 贝塔二
12:11 贝塔一
12:12 贝塔二是两个复杂向量
12:14 它可以用简单向量表示
12:16 等于左边的
12:17 右边是等于左边的
12:19 这是一个简单向量组
12:20 这是一个复杂向量组
12:21 贝塔一贝塔20u简单向量组阿尔法
12:24 阿尔法二所构成的呀
12:25 加加减减构成的呀
12:27 所以我们将复杂向量组表示成一个简单向量
12:30 组成一个数字型的矩阵
12:33 同学们要学会这种表达方式
12:36 好我再举一个例子啊
12:37 同学们看好了嗯
12:39 这显然也是一个复杂向量组
12:41 复杂向量组可以记为贝塔一
12:43 贝塔二
12:44 贝塔三
12:45 贝塔一
12:46 贝塔二
12:46 贝塔三分别都是由阿尔法一
12:48 阿尔法二
12:48 阿尔法三加加减减构成的好
12:51 那当然可以等于这个简单向量组吗
12:54 阿尔法阿尔法
12:54 阿尔法三乘以一个什么样的数字型矩阵
12:57 好
12:58 各位同学
12:59 我们先来看这是一个几乘几的
13:02 这个可以看成1x3的啊
13:04 一行三列
13:05 那这个是1x3
13:07 那你觉得这个矩阵后面要乘以几嘞
13:09 才可以构造成左边的1x3
13:11 是不是一定是3x3才可以了啊
13:14 1x3x3x3
13:16 最后是不是前行后面是等于1x3吗
13:20 听懂了没有
13:21 各位同学
13:22 所以后面这个数字型矩阵应该等于几
13:24 后面这个数字型矩阵应该等于3x3啊
13:28 好先看第一个元素怎么算出来的
13:30 阿尔法一减去阿尔法二这个元素应该怎么算
13:33 是不是等于这一行乘以第一列元素
13:37 你注意它的系数哦
13:38 它的系数是一-10啊
13:41 各位同学是不是一-10啊
13:43 所以这个地方应该写什么一-10好
13:47 我们再看第二个元素
13:48 是不是应该等于哎
13:49 这个简单向量组乘以第二列的元素
13:52 你看一下它的系数
13:54 它的系数应该是几哎
13:55 没有阿尔法一
13:56 没有阿尔法一就是零倍的阿尔法一呀
13:58 是不是阿尔法二的系数是二呀
14:01 阿尔法三的系数是-1
14:02 你看到没有
14:03 是-1好
14:06 再看第三个元素
14:07 第三个向量啊
14:09 f一加法二加阿尔法三
14:11 是不是应该等于这个简单向量组
14:13 乘以第三列的元素所构成的
14:15 你注意它的系数是111呀
14:18 系数是一一呀
14:19 所以最后第三列的元素是不是111就好了
14:22 各位同学
14:23 所以很简单
14:24 你要会这种表示哦
14:26 那不仅期末考试当中会考到这个
14:28 其实在考研当中
14:30 这个也非常喜欢扣
14:32 这是抽象向量组的线性表示
14:34 它的表示方法好不好啊
14:36 我把它展示一下啊
14:37 这个矩阵应该等于哎一-10呢
14:41 以及零二-1111所构成的一个三阶矩阵好
14:46 另外还有一个需要强调
14:48 如果一个复杂向量组
14:50 一个复杂向量组可以表示成简单向量组啊
14:54 这个简单向量组乘以一个数字型矩阵
14:56 也就是这个表达式
14:57 是不是
14:58 并且告诉你
15:00 那么这一个阿尔法一阿尔法二
15:02 阿尔法三是线性无关的啊
15:04 是线性无关的
15:06 那么我要通过这个简单向量组的线性无关
15:09 来判断
15:10 复杂向量组的相关性到底是相关还是无关
15:13 它取决于什么
15:14 取决于这样一个数字型矩阵c的行列式啊
15:19 如果c行列式怎样
15:20 如果c行列式等于零
15:22 那么复杂向量组一定是相关的
15:26 如果c含量是不等于零的
15:28 那么这个复杂向量组一定是无关的
15:31 那么c行列式等于零是什么意思
15:33 c行列式等于零
15:35 是不是就是不可逆的意思
15:37 c不可逆吗
15:39 这是由第二章的知识
15:40 我们讲过c行列式不等于零呢
15:43 那就是可逆的意思
15:45 是不是
15:46 所以我们把这个结论稍微总结一下
15:48 各位同学请看好啊
15:51 一个无关的向量组啊
15:53 比方说这个阿尔法一简单向量组
15:56 一个无关的简单向量组乘以一个数字型
15:59 如果是可逆阵
16:00 则得到的复杂向量组仍然是无关的
16:03 如果一个简单的无关组成一个不可逆矩阵
16:07 那么得到的复杂向量组一定是相关的
16:11 好再来一遍
16:12 同学们跟我一起来哦
16:13 无关组乘以可逆证得到的复杂向量组
16:18 一定还是无关的
16:20 无关组成以不可逆矩阵得到的复杂向量组
16:25 它一定是相关的
16:27 好我们来做本题啊
16:29 各位同学看好啊
16:30 总结放到这里啊
16:31 总结放到这里
16:32 我们看一下这个复复杂向量组啊
16:35 复杂向量组看看它的系数好不好
16:36 要注意把它写成矩阵的形式
16:39 它可以看成1x3吗
16:40 它当然可以等于一简单向量组
16:43 简单向量组乘以一个积乘以一个3x3的吗
16:46 这是1x3的
16:47 是不是啊
16:48 那这个这个这个这个数数
16:51 数字型矩阵应该三列三列
16:54 应该等于什么
16:55 是不是等于他们的系数所构成的好
16:58 我们先看第一个
16:59 同学们
17:00 第一个的系数是几一-1和阿尔法三的系数
17:04 阿尔法三三的系数是零
17:06 被阿尔法三吗
17:07 对不对
17:08 所以它就应该等于一-10
17:12 看到没有哎
17:13 第一个元素等于第一行乘以第一列所构成吗
17:18 能听懂吗
17:19 我们再看第二个元素是不是等于
17:21 简单向量组乘以第二列数值类零一-1
17:26 第三个呃
17:28 第第三个分量是不是应该等于
17:30 注意哦
17:31 阿尔法一的系数是指阿尔法一的系数是-2
17:34 阿尔法三的系数是一
17:35 没有阿尔法二
17:36 没有阿尔法二
17:37 就是零倍的阿尔法二
17:38 所以应该是-2012
17:40 各位同学好
17:42 这是一个复杂向量组
17:43 这是一个简单向量组
17:44 这个简单向量组已经告诉你它是线性无关的
17:47 所以要判断这个复杂向量组的相关性
17:50 只相关性还是无关性
17:51 那么只需要看这个数字型矩阵呢
17:54 它是可逆还是不可逆
17:56 可逆不可逆
17:57 那就需要看它的行列式呀
18:00 各位同学
18:01 我把它记为c
18:02 也就是看c矩阵的行列式
18:04 行列式太好做了
18:06 各位各位
18:07 行列式很好做
18:08 是不是将第一行的元素加到第二行呢
18:12 把它化成下三角的形式嘛
18:15 对不对
18:16 哎
18:17 向上的形式
18:18 然后再按照第几列展开
18:19 第一列展开是不是第一列展开
18:22 结果等于-1不等于零
18:23 不等于零
18:24 说明什么问题
18:24 行列式不等于零
18:26 则说明c可逆可逆哦
18:29 我们知道无关组乘以可逆症一定还是无关组
18:33 所以我们得到的这个复杂向量组啊
18:36 一定是线性无关的
18:38 同学们
18:39 这是抽象型
18:40 数字型
18:41 抽象型都会做了啊
18:42 各位同学
18:43 那么实际上本身还有一个比较关键的题型
18:47 就是求向量组的秩和极大无关组合
向量组的秩、极大无关组的求法 18:48
18:50 你比方说我现在有这样一个例题啊
18:54 三个向量现在要求这三个向量的秩
18:58 这三个向量的构成的向量组的秩
19:02 以及极大无关组
19:03 要做这个题
19:04 首先有两点需要同学们知道
19:07 第一个一个向量组的秩实际上就是把阿尔法一
19:11 阿尔法二
19:11 阿尔法三写成一个矩阵的形式
19:14 矩阵当中它的含阶梯形当中的非零函数
19:19 矩阵的字
19:19 我们在上一章讲过
19:21 是不是就就是把这个矩阵化成行阶梯形
19:24 看非零行的数啊
19:28 非零函数就是矩阵的秩
19:30 矩阵的秩就是等于向量组的秩
19:31 考这个题还需要求极大无关组
19:34 各位同学
19:35 这个地方你一定要记住
19:37 要求一个向量组的极大无关组
19:39 极大无关组一般取行阶梯形当中拐弯处
19:44 你阶梯嘛
19:45 这是不是阶梯阶梯有拐弯处
19:47 拐弯处所在的列向量就是就是极大无关注啊
19:51 同学们要注意啊
19:52 好各位同学
19:54 我们来做这个题了啊
19:55 有这有这两点准备
19:57 这个题就ok了啊
19:58 换一个题一定还是这样做好吧
20:01 好首先我们要看嗯这个向量组的秩
20:06 那就需要对矩阵做行变换
20:08 行变换怎么办啊
20:09 它有四行三列哦
20:11 四行三列
20:12 那么是不是把第一行的-2倍加到第二行
20:16 使得这个二变成零了
20:18 把第一行的-1倍加到第三行
20:20 把第一行的-2倍加到第三行
20:22 当然相应的这后面的元素都要变啊
20:25 相应的元素都要会变的
20:27 那最后我们变成这个式子好
20:29 这这这是不是阶梯形
20:30 这不是阶梯形
20:32 阶梯形要注意啊
20:33 阶梯形那必须要是这种形式诶
20:37 这种形式是吧
20:39 哎一步一步的阶梯要往后往往往后移
20:43 往后移动
20:44 你不能说我直接这样
20:46 直接诶
20:46 从第二行的时候直接往下走
20:49 这不行
20:49 这是不行的
20:51 这不叫解题好
20:52 此时我们会发现
20:53 那第二二行和第三行是不是对应成比例的
20:57 那直接-9的几倍往下一加
21:00 -1倍
21:00 往下一加
21:01 那-9的几倍
21:02 -9的-2倍
21:04 完第三行一讲也可以变成零
21:06 相应的这个都会变成都会变成零位
21:09 同学你往后面走
21:10 这就是所谓的阶梯性的
21:12 而关于求知的问题
21:13 同学们可以回到我们上一站
21:15 第二讲
21:16 如何求一个矩阵的秩的呃
21:18 这个方法显得非常的细啊
21:20 同学们可以看一下
21:21 显然这个阶梯有几个非零和两个非零行
21:24 所以它的质为基
21:25 它的字为二啊
21:28 这个矩阵的秩也就是这个向量组的秩
21:30 好比二红方把第一列即为阿尔法
21:34 一匹阿尔法二
21:35 一匹阿尔法三一撇
21:37 你注意这样的时候
21:39 我们构成的这个阶梯形
21:40 所构成的这三个向量和原向量阿尔法一
21:44 阿尔法二
21:44 阿尔法三
21:45 原向量组啊
21:46 它的相关性是完全相同的
21:49 好既然向量组的秩为二
21:52 这个地方有一个地方有一个东西要记住
21:54 极大无关组必定还有两个向量嗯
21:58 极大无关组含有两个向量
22:01 秩为二
22:02 有两个拐弯吗
22:03 两个拐弯处啊
22:05 第一个拐弯处在第一列
22:07 第二个拐弯处在第二列
22:09 看到没有
22:09 第一个拐弯处是不是在第一列
22:11 第二个拐弯处是不是在第二列
22:13 所以我们取谁为极大无关组呢
22:16 阿尔法一阿尔法二即可
22:18 是不是
22:18 这就是一个极大无关组
22:20 注意极大无关组是不唯一的二
22:23 但是我们一般看看
22:25 一般取为拐弯处所在的列
22:29 你听懂了吗
22:30 各位同学好
22:32 那么这一站就是这样